Grenzwerte

A
1) Berechne die ersten 4 Glieder der Folge xn+1 = 2 + 3/xn , x0 = 2. Rechne mit Dezimalzahlen! Erkennst du einen Grenzwert? Warum gilt sicher xn > 2?
2) Berechne die ersten 4 Glieder der Folge xn+1 = 4 + 5/xn , x0 = 4. Rechne mit Dezimalzahlen! Erkennst du einen Grenzwert? Warum gilt sicher xn > 4?
3) Berechne die ersten 4 Glieder der Folge xn+1 = 3 + 4/xn , x0 = 3. Rechne mit Dezimalzahlen! Erkennst du einen Grenzwert? Warum gilt sicher xn > 3?

B
1-4) Berechne die ersten 4 Glieder der Folge xn+1 = 2 + 3/xn. Rechne mit Brüchen!
5) Für hohe Folgeglieder unterscheidet sich xn+1 kaum von xn. Eine Möglichkeit, den Grenzwert aufzuspüren, besteht darin, in der Rekursion statt der Folgeglieder den Grenzwert x zu setzen.
Löse die entstandene Gleichung!
6) Wende das Verfahren aus 5) auf die Folge xn+1 = 4 + 5/xn an und löse die entstandene Grenzwertgleichung!
7) Wende das Verfahren aus 5) auf die Folge xn+1 = 3 + 4/xn an und löse die entstandene Grenzwertgleichung!
8) Weise folgende Identität nach: xn+1 − 3 = (3 − xn)/xn
Es gilt deshalb

|x4 − 3| = |x3 − 3|/x3 < |x3 − 3|/2 < |x2 − 3|/22 < |x1 − 3|/23 < |x0 − 3|/24 = 1/24

und daher allgemein: |xn − 3| < 1/2n. Was bedeutet das anschaulich?

C
Gegeben ist die Folge xn = (3n2 + 2n)/(2n2 + n).
1-3) Berechne x10, x100, x1000! Erkennst du einen Grenzwert?
4) Vereinfache xn − 3/2.
Du müsstest erkennen, dass |xn − 3/2| < 1/n.
Was bedeutet das Ergebnis anschaulich?
5-6) Vereinfache solange, bis du erkennst, dass eine Nullfolge vorliegt!

D
1) Versuche den Grenzwert der Folge xn+1 = 0.5(xn + 4/xn) zu ermitteln!
2) Versuche den Grenzwert der Folge xn+1 = 0.5(xn + 9/xn) zu ermitteln!
Wähle als Startglied stets x1 = 1.

E
Wir haben in Beispiel (B) das Quotientenkriterium verwendet. Demnach konvergiert eine Folge <x> bereits dann gegen einen Grenzwert a, wenn man ein q < 1 findet mit

|xn+1 − a|/|xn − a| < q < 1

Wir wollen nun nachweisen, dass die Folge xn+1 = 0.5(xn + a2/xn+1)
das Quotientenkriterium erfüllt. Motiviert durch Beispiel (E) vermuten wir, dass ihr Grenzwert a lautet.

1) Vereinfache den Term 2xn(xn+1 − a)/(xn − a)2 so weit wie möglich.
2) Aus dieser Identität folgert man das Quotientenkriterium:
|xn+1 − a|/|xn − a| = 1/2xn·|xn − a| = 1/2·|1 − a/xn| < 1/2 = q < 1

F
Setzt man in der Folge aus Beispiel (D) und (E) an Stelle der Quadratzahl a2 eine beliebige positive Zahl x, so kann man die Wurzel aus x ziehen. Teste an einigen Beispielen:
1) Ermittle die Wurzel von 2:   xn+1 = 0.5(xn + 2/xn)
2) Ermittle die Wurzel von 3:   xn+1 = 0.5(xn + 3/xn)
Wähle als Startglied stets x1 = 1 und bestimme 5 signifikante Stellen!

G
Gegeben sind zwei Folgen
(2.82, 2.828, 2.8284, 3.2.82842, ...) → a und (1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422, ...) → b.
Überprüfe die Grenzwertsätze und berechne
1) das Produkt der Folgeglieder,
2) den Quotienten der Folgeglieder.
Es gilt offensichtlich ab = 4 und a/b = 2. Wie groß sind dann a und b?

H
1-3) Bestimme den Grenzwert mit Hilfe der Grenzwertsätze.
4) Bestimme den Grenzwert des Differenzenquotienten für f(x) = x2.
5) Bestimme den Grenzwert des Differenzenquotienten für f(x) = x3.
6) Bestimme den Grenzwert des Differenzenquotienten für f(x) = 1/x.