Výpočet objemu koule
(Cavalieriův princip)

Pro výpočet objemu polokoule o poloměru r (v animaci vlevo nahoře) použijeme "náhradní" těleso (vpravo nahoře), u kterého je výpočet objemu jednodušší: Zde se jedná o rotační válec s poloměrem podstavy r a výškou také r, ze kterého je vyjmut rotační kužel také s  poloměrem podstavy r a výškou r.

Lze nyní ukázat, že polokoule a "náhradní" těleso mají stejný objem. Představme si, že obě tělesa řízneme rovinou rovnoběžnou s podstavou tělěsa. V případě polokoule vznikne jako plocha řezu kružnice (zelená), v případě "náhradního" tělesa mezikruží (oranžové). Vzdálenost h roviny řezu od roviny podstavy je v každém případě hodnota mezi 0 a r. Pomocí pohybu myši (se stisknutým tlačítkem) lze v animaci tuto vzdálenosti h měnit. V dolní části jsou pak viděl obě plochu řezu ve skutečné velikosti.

Známe-li r a h, dokážeme obě plochy řezu vypočítat.

Obsah zelené plochy řezu nejdříve vyjádříme S1  =  s2π. Nyní si uvědomíme, že trojúhelník vlevo nahoře v apletu je pravoúhlý. Dosazením do Pythagorovy věty s2 + h2  =  r2, dostáváme s2  =  r2 − h2. Z toho tedy plyne, že obsah zelené plochy je S1  =  (r2 − h2) π.

Ještě jednodušší je výpočet oranžově vyznačené plochy řezu: Vezme si obsah vnější kruhové plochy bez obsahu vnitřní kruhové plochy a tím dostaneme S2  =  r2π − h2π   =  (r2 − h2) π.

Obsahy obou ploch řezu se shodují a to pro každou hodnotu h mezi 0 a r. Podle Cavalieriho principu se musí tedy také shodovat i objemy obou těles - polokoule a "náhradního" tělesa.

Vpolokoule  =  V"náhr." těleso   =  VVálec − VKužel   =  r2π · r − (1/3) r2π · r   =  (2/3) r3π

Jestliže chceme vypočítat objem celé koule, je nutné tento výsledek ještě zdvojnásobit.
Definitivní vzorec tedy zní:

Objem koule s poloměrem r: V = (4/3) π r3
Tento prohlížeč nepodporuje HTML5 Canvas!