Pružinový oscilátor
matematický dodatek

Pružinový oscilátor se ve své nejjednodušší podobě skládá z vinuté pružiny (s tuhostí k), na jejímž konci je zavěšeno závaží (hmotnosti m). Vychýlením kyvadla z jeho rovnovážné polohy nahoru nebo dolů se kyvadlo začíná pohybovat - kmitat.

Zde prezentovaný kmitavý pohyb je značně zjednodušen. Třecí síly (vnitřní tření pružiny a odpor vzduchu) jsou zanedbatelné. U pružiny se předpokládá, že přesně platí Hookův zákon (úměrnost mezi sílou a prodloužením pružiny). Pružina je považována za nehmotnou; proto neuvažujeme sílu, která urychluje pohybující se části pružiny. Torzní kmitání, které se vyskytuje v reálném kmitání pružiny, také nejsou brány v úvahu.

Pro popis okamžité výchylky na čase t jako prodloužení (deformace) od rovnovážné polohy budeme používat souřadnici y. Souřadnice y může být buď kladná (když je závaží vychýleno nad rovnovážnou polohou) a nebo záporná (pod rovnovážnou polohou). Jako počáteční podmínka se předpokládá, že v čase t = 0 je pružina oscilátoru natažena do vzdálenosti ym a pak uvolněna.

pružinový oscilátor

V levé části náčrtu je zobrazena nezatížená pružina. Uprostřed je znázorněno úplné prodloužení pružiny v rovnovážné poloze; zde se pružina protáhla díky hmotnosti do délky y > 0. Vpravo je znázorněn zcela obecný okamžik, kdy platí podmínky y > 0 a |y| < y0. Následující úvahy se především zabývají tímto případem, platí však zcela obecně i pro jiné hodnoty y.

Prodloužení pružiny v rovnovážné poloze

Prodloužení pružiny z rovnovážné polohy y0 je způsobené tíhovou sílou FG = m·g a vyplývá přímo z Hookova zákona:

Prodloužení pružiny z rovnovážné polohy

y0 ... prodloužení pružiny v rovnovážné poloze
m .... hmotnost závaží
g .... tíhové zrychlení
k .... tuhost pružiny

Odvození: vztah mezi (vratnou) sílou a okamžitým prodloužením

Na závaží pružinového oscilátoru působí dvě síly - síla pružiny a tíhová síla. Síla pružiny se opět vypočítá dle Hookova zákona jako součin tuhosti k a výrazu y0 − y. Tento výraz je rozdílem okamžité výchylky a délky pružiny v rovnovážené poloze. Síla pružiny směřuje vzhůru a má tedy kladné znaménko. Naopak tíhová síla FG = mg směřuje dolů, má tedy znaménko záporné.

odvození celkové síly

výraz celkové síly

F ... (vratná) síla
k ... tuhost pružiny
y ... okamžitá výchylka (prodloužení od rovnovážné polohy)

Poslední rovnice ukazuje, že síla (vratná síla) působící na závaží pružinového oscilátoru je (až na znaménko) přímo úměrná okamžité výchylce. V takovém případě bude těleso vykonávat netlumené harmonické kmitání, které může být popsáno pomocí harmonických funkcí sinus nebo kosinus. Všimněte si, že se ve vzorci celkové síly vůbec nevyskytuje hmotnost tělesa.

Úhlová frekvence a perioda kmitání

Výsledné harmonické kmitání pružinového oscilátoru je charakterizováno tzv. úhlovou frekvencí

úhlová frekvence

ω ... úhlová frekvence
k ... tuhost pružiny
m ... hmotnost závaží

nebo dobou jednoho kmitu (periodou).

periona

T ... doba jednoho kmitu (perioda)
π ... Ludolfovo číslo (3,14159…)
k ... tuhost pružiny
m ... hmotnost závaží

Okamžitá výchylka

Okamžitou výchylku y může nyní vyjádřit jako funkci času t následujícím způsobem:

okamžitá výchylka

y ... okamžitá výchylka (výchylka vzhledem k rovnovážné poloze)
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω ... úhlová frekvence
t ... čas
k ... tuhost pružiny
m ... hmotnost závaží

Ve výrazu je uvedena funkce kosinus (a nikoliv sinus), to vychází z uvedeného počátečního stavu. Dosadíme-li do výrazu počáteční čas tj. t = 0, dostaneme (jak požadujeme) počáteční výchylku y = ym. Zdůvodnění tohoto vzorce bude uvedeno později, a to v části týkající se síly.

Okamžitá rychlost

Rychlost v je složka rychlosti do svislého směru. Při pohybu směrem nahoru je kladná, při pohybu směrem dolů záporná. Rychlost je získána jako derivace (odvoďte) okamžité výchylky y dle času t.

Geschwindigkeit

v ... okamžitá rychlost
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω ... úhlová frekvence
t ... čas
k ... tuhost pružiny
m ... hmotnost závaží

Při dosazení t = 0 dostáváme počáteční rychlost v = 0, což splňuje počáteční podmínku, kdy se po uvolnění oscilátor nehýbe.

Okamžité zrychlení

Dalším derivováním předešlého výrazu podle t získáme výraz pro okamžité zrychlení a. Také i zde je velikost – stejně jako u rychlosti – dána i se znaménkem.

okamžité zrychlení

a ... okamžité zrychlení
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω ... úhlová frekvence
t ... čas
k ... tuhost pružiny
m ... hmotnost závaží

Okamžitá (vratná) síla

Okamžitá (vratná) síla působící na závaží na pružině je dána druhým Newtonovým zákonem (Newtonův zákon síly) jako součin hmotnosti a zrychlení.

okamžitá vratná síla

F ... (vratná) síla
m ... hmotnost závaží
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω ... úhlová frekvence
t ... čas
k ... tuhost pružiny

Podíváme se, jak výraz pro sílu F závisí na okamžité výchylce y. Zjistíme, že výraz pro sílu je výraz pro okamžitou výchylku vynásobený znaménkem mínus a tuhostí k. Získaný výraz je tedy v souladu s naším (dříve uvedeným) výrazem:

výraz síly

F ... (vratná) síla
k ... tuhost pružiny
y ... okamžitá výchylka

Tím je předloženo zdůvodnění tvaru platného, pro výraz okamžité výchylky (viz dříve).

Kinetická energie

Kinetickou energii (pohybovou energii) pružinového oscilátoru získáme dosazením do známého vzorce (součin jedné poloviny hmotnosti a kvadrátu rychlosti).

kinetická energie

kinetická energie

Ek ... kinetická energie (pohybová energie)
m .... hmotnost závaží
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω .... úhlová frekvence
t .... čas
k ... tuhost pružiny

Potenciální energie

Ohledně potenciální energie (polohové energie) pružinového oscilátoru často panuje určitý zmatek. Důvodem je to, že se zde jedná o dva různé typy potenciální energie, a to energii pružnosti a energii tíhového pole (dána výškou). Všimněte si také, že potenciální energie je jednoznačně určena vůči stanovenému referenčnímu bodu, ve kterém má potenciální energie hodnotu 0. Zde je zřejmé, dle dohody, že oba tyto druhy energie jsou nulové v rovnovážné poloze.

Pro energii pružiny pak záskáváme:

Federenergie

Menšenec tohoto rozdílu vyplývá ze známého vzorce energie pružniny (polovina tuhosti pružiny krát kvadrát prodloužení). Výraz y0 − y je zde opět prodloužení pružiny oproti její délce v nezatíženém stavu. Menšitel je zde nezbytný proto, aby pro případ y = 0 vycházela energie rovna 0.

Výraz lze algebraickými úpravami upravit na následující tvar:

Federenergie

Pro potenciální energii tíhového pole platí jednoduchý výraz:

Höhenergie

Abychom získali celkovou potenciální energii musíme sečíst obě energie tj. potenciální energii pružnosti Ep1 a potenciální energii tíhového pole Ep2. Získáme vzorec celkové energie vzhledem k rovnovážné poloze y0.

Potentielle Energie

Je patrné, že – podobně jako ve vztahu mezi sílou a prodloužením – potenciální energie tíhového pole zcela vypadla. Vidíme, že výraz záleží jen na okamžité výchylce y (vztaženo k rovnovážné poloze) a nikoliv na výrazu y0 − y (vztaženo k délce nezatížené pružiny). Lze tedy jasně říci, že celková potenciální energie pružinového oscilátoru je dána pouze potenciální energií pružnosti.

Okamžitá hodnota potenciální energie může být též vyjádřena do tvaru odpovídající kinetické energii:

Potenciální energie

Ep ... potenciální energie (polohová energie)
k .... tuhost pružiny
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
m .... hmotnost závaží
t .... čas
ω .... úhlová frekvence

Celková energie

Sečtením kinetické a potenciální energie dostaneme energii celkovou. Úpravu vzorce provedeme vytknutím společného členu z výrazů a užitím základního goniometrického vzorce (součet kvadrátů funkce sinus a kosinus stejného argumentu je roven jedné).

Gesamtenergie

Ukazuje se, že celková energie nezávisí na čase t. Což odpovídá platnosti zákona zachování energie!

Gesamtenergie

E ... celková energie
m ... hmotnost závaží
ym ... amplituda okamžité výchylky (maximální výchylka)
ω ... úhlová frekvence
k .... tuhost pružiny


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_math_cz.htm
© Walter Fendt, 9. září 2007
Poslední aktualizace: 13. srpna 2014

zpětZpět na hlavní stránku