Fjederpendulet er karakteriseret ved fjederkonstanten D, massen m og dæmpningskonstanten Γ.
(Γ er et mål for friktionskraften antaget værende proportional med hastigheden).
Fjederpendulets ophæng bevæges op og ned efter formlen
yE = AE cos (ωt).
yE er her den ydre påvirkers udsving i forhold til midterstillingen; AE er den ydre påvirkers amplitude,
ω er den tilsvarende vinkelfrekvens og t er tiden.
Det gælder nu om at finde størrelsen af resonatorens udsving y (i forhold til dens midterstilling) til tiden t. Sætter vi ω0 = (D/m)1/2 kan problemet beskrives ved den følgende differentialligning:
y''(t) = ω02
(AE cos (ωt) − y(t)) − Γ y'(t) Startbetingelser: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Ved løsning af denne differentialligning må vi opdele i flere tilfælde:
Tilfælde 1: Γ < 2 ω0
Tilfælde 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 or ω ≠ ω0
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
[A1 sin (ω1t)
+ B1 cos (ω1t)]
ω1 =
(ω02
− Γ2/4)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = − Ael
Tilfælde 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0
y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt)
Tilfælde 2: Γ = 2 ω0
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ (ω02
+ ω2)2
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ (ω02
+ ω2)2
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
B1 = − Ael
Tilfælde 3: Γ > 2 ω0
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
[A1 sinh (ω1t)
+ B1 cosh (ω1t)]
ω1 =
(Γ2/4
− ω02)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = − Ael
URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phda/resonance_math_da.htm
Walter Fendt, September 9, 1998
Dansk version: Morten Brydensholt (ORBIT)
Sidste ændring: 17. december 2017