Tvungne svingninger
Matematisk tillæg

Fjederpendulet er karakteriseret ved fjederkonstanten D, massen m og dæmpningskonstanten Γ. (Γ er et mål for friktionskraften antaget værende proportional med hastigheden).
Fjederpendulets ophæng bevæges op og ned efter formlen yE   =   AE cos (ωt).
yE er her den ydre påvirkers udsving i forhold til midterstillingen; AE er den ydre påvirkers amplitude, ω er den tilsvarende vinkelfrekvens og t er tiden.

Det gælder nu om at finde størrelsen af resonatorens udsving y (i forhold til dens midterstilling) til tiden t. Sætter vi ω0   =   (D/m)1/2 kan problemet beskrives ved den følgende differentialligning:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Startbetingelser:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Ved løsning af denne differentialligning må vi opdele i flere tilfælde:

Tilfælde 1: Γ < 2 ω0
 
Tilfælde 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 or ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Tilfælde 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Tilfælde 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Tilfælde 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phda/resonance_math_da.htm
Walter Fendt, September 9, 1998
Dansk version: Morten Brydensholt (ORBIT)
Sidste ændring: 17. december 2017

back Tilbage til hovedsiden