Doch neugierig geworden?

Erzwungene Schwingungen
Mathematischer Anhang

Das Federpendel ist gekennzeichnet durch die Federkonstante D, die Masse m und die Dämpfungskonstante Γ. (Γ ist ein Maß für die Reibungskraft, die als proportional zur Geschwindigkeit vorausgesetzt wird.)

Die Hin- und Herbewegung der Pendelaufhängung erfolgt nach der Gesetzmäßigkeit yE   =   AE cos (ωt). Dabei ist yE die Elongation (Auslenkung) des Erregers gegenüber der Mittelposition; AE steht für die Amplitude der Erregerschwingung, ω für die zugehörige Kreisfrequenz und t für die Zeit.

Es geht nun darum herauszufinden, wie groß die Elongation y des Resonators (gemessen bezüglich seiner Mittelposition) zur Zeit t ist. Unter Verwendung der Bezeichnung ω0   =   (D/m)1/2 ergibt sich für dieses Problem die folgende Differenzialgleichung:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Anfangsbedingungen:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Bei der Lösung dieser Differenzialgleichung sind mehrere Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: Γ < 2 ω0
 
Fall 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 oder ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Fall 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 und ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Fall 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Fall 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phde/resonance_math_de.htm
Walter Fendt, 9. September 1998
Letzte Änderung: 2. Februar 2010

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