Oscilación Forzada
Apéndice Matemático

El muelle oscilante se caracteriza por la constante elástica D, la masa m y la constante de atenuación Γ. (Γ es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior, según la fórmula yE  =  AE cos (ωt). En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo ω la frecuencia angular y t el tiempo.

Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo ω0   =   (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Condiciones iniciales:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:

Caso 1: Γ < 2 ω0
 
Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0   o   ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0   y   ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Caso 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph6es/resonance_math_es.htm
© Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
© Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 17 Marzo 2010

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