A hidrogén Bohr-féle atommodelje
Matematikai függelék

A hidrogén atom (negatív töltésű) elektronját az elektrosztatikus vonzóerő tartja körpályán a (pozitívan töltött) atommag körül. Newton II. törvénye szerint jelen esetben a Coulomb-féle erő egyenlő a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzatával:

m v2
r
 =  e2
4 π ε0 r2

m .... az elektron tömege
v .... az elektron sebessége
r .... a pálya sugara
e .... elemi töltés
ε0 ... vákuum permittivitás

De csak azok a pályasugarak a megengedettek, melyekre az impulzusmomentum a h / (2 π) egész számú többszöröse.

Bohr-féle kvantálási feltétel:
 
r m v  =  n × h
2 π

r ... a pálya sugara
m ... az elektron tömege
v ... az elektron sebessége
n ... főkvantumszám(n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planck-állandó

A Bohr-féle kvantálási feltétel hihetőnek hangzik, ha elfogadjuk a de Broglie hullámok (az anyag hullám tulajdonsága) gondolatát kiindulásként: Az elektronhoz tartozó hullámhossz λ  =  h / (m v). Ahhoz, hogy a mag körül állóhullám legyen szükséges feltétel, hogy a pálya kerülete a hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Ebből azt kapjuk: 2 r π  =  n h / (m v), ami bizonyítja a fent említett kvantálási feltételt.

A második egyenletből v-t kifejezve, és azt behelyettesítve az első egyenletbe a megengedett pályasugarakra a következő eredményt kapjuk:

Az n főkvantumszámú állapot pályasugara:
 
r  =  h2 ε0
m e2 π
× n2

h .... Planck-állandó
ε0 ... vákuum permittivitás
m .... elektron tömege
e .... elemi töltés
n .... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)

Felhasználva: E  =  Epot + Ekin  =  − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 kapjuk, hogy:

A hidrogén atom n főkvantumszámú állapotának energiája:
 
E  =  −  m e4
8 ε02 h2
× 1
 n2

m .... elektron tömege
e .... elemi töltés
ε0 ... vákuum permittivitás
h .... Planck-állandó
n .... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)

Szigorúan véve apró módosítást kell eszközölnünk ezen a képleten. Bár a mag tömege jóval nagyobb, mint az elektroné, de nem végtelen. Ezért az elektron is és a mag is a közös tömegközéppontjuk körül kering, mely nem esik teljesen egybe az atom középpontjával. Ha ezt is figyelembevesszük, akkor az elektron (m) tömegét ki kell cserélnünk az m' úgynevezett redukált tömeggel:

Az elektron redukált tömege:
 
m'  =  mN m
mN + m

m .... elektron tömege
mN ... mag tömege


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phhu/bohrmodel_math_hu.htm
Walter Fendt, 1999. Május 29.
Magyar változat: Serényi Tamás, 2004.
Utolsó módosítás: 2016. Március 31.

back Vissza a főoldalra