Oscilações Forçadas
Apêndice Matemático

O pêndulo em mola é caracterizado pela constante da mola D, a massa m e a consante e amortecimento Γ. (Γ é a medida do atrito obtida em função da sua proporcionalidade à velocidade.)
Ao topo da mola é aplicado um movimento de acordo com a expressão : y_E   =   A_E cos (ωt).
y_E á a elongaçáo de excitação comparada com a posição média; A_E é a amplitude da oscilação de excitação, ω a freqência angular e t o tempo.

Coloca-se então a questão de saber o valor da elongação de ressonância y (comparada com a posição média) para cada instante t. Usando ω₀   =   (D/m)^1/2 este problema pode ser descrito com a seguinte equação diferencial:

Para resolver esta equação é necessário distinguir entre os diferentes casos possíveis:

Caso 1: Γ < 2 ω₀

Caso 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 ou ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Caso 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 e ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Caso 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/ph14pt/resmath_pt.htm
Walter Fendt, Setembro 9, 1998
Ultima actualização em Português, Maio 29, 2009

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