Bohrov model vodíkového atómu
Matematický doplnok

Záporne nabitý elektrón je priťahovaný ku kladne nabitému jadru. Aby sa udržal na stabilnom orbite, musí toto jadro obiehať. V takom prípade je elektrostatická sila (Coulombova) silou dostredivou.

m v2
r
 =  e2
4 π ε0 r2

m .... hmotnosť elektrónu
v .... rýchlosť elektrónu
r .... polomer orbitu
e .... veľkosť elementárneho náboja
ε0 ... permitivita vákua

Takže, povolené polomery orbitu sú len tie, pre ktoré je moment hybnosti celočíselným násobkom h / (2 π).

Bohrova kvantová podmienka:
 
r m v  =  n · h
2 π

r ... polomer orbitu
m ... hmotnosť elektrónu
v ... rýchlosť elektrónu
n ... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konštanta

Bohrova kvantová podmienka hovorí, že ak prijmeme myšlienku de Brogliho hmotnej vlny, potom elektrónu odpovedá vlnenie s vlnovou dĺžkou λ  =  h / (m v). Pre existenciu stojatej vlny okolo jadra je nevyhnutné, aby obvod orbitu bol celočíselným násobkom vlnovej dĺžky. Teda dostávame 2 r π  =  n h / (m v), čo potvrdzuje predchádzajúcu kvantovú podmienku.

Riešením druhej rovnice a dosadením výsledku do prvej dostaneme nasledujúci výsledok pre povolené (možné) polomery:

Polomery orbitov pre hlavné kvantové číslo n:
 
r  =  h2 ε0
m e2 π
· n2

h .... Planckove účinkové kvantum
ε0 ... permitivita vákua
m .... hmotnosť elektrónu
e .... veľkosť elementárneho náboja
n .... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Použitím vzťahu E  =  Epot + Ekin  =  − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 dostaneme:

Energia vodíkového atómu v stave popísanom hlavným kvantovým číslom n:
 
E  =  −  m e4
8 ε02 h2
· 1
 n2

m .... hmotnosť elektrónu
e .... elementárny náboj
ε0 ... permitivita vákua
h .... Planckove účinkové kvantum
n .... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Presne povedané je nutné ešte spraviť malú opravu tohto vzorca. Hmotnosť jadra je iste mnohonásobne väčšia než hmotnosť elektrónu, ale nie nekonečno krát. Takže elektróny spoločne s jadrom obiehajú okolo spoločného hmotného stredu, ktorý nie je celkom identický so stredom atómu. Ak to vezmeme do úvahy, musíme nahradiť hmotnosť elektrónu (m) takzvanou redukovanou hmotnosťou (m'), ktorú získame pomocou nasledujúceho vzťahu:

Redukovaná hmotnosť elektrónu:
 
m'  =  mK m
mK + m

m .... hmotnosť elektrónu
mK ... hmotnosť jadra


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phsk/bohrmodel_math_sk.htm
© Walter Fendt, 29. Mai 1999
Posledná zmena: 30. marec 2016

zurück Návrat na hlavnú stránku