Pružinový oscilátor
matematický dodatok

Pružinový oscilátor sa v svojej najjednoduchšej podobe skladá z vinutej pružiny (s tuhosťou k), na ktorej konci je zaveseené závažie (hmotnosti m). Vychýlením kyvadla z jeho rovnovážnej polohy nahor alebo nadol sa kyvadlo začína pohybovať - kmitať.

Tu prezentovaný kmitavý pohyb je značne zjednodušený. Trecie sily (vnútorné trenie pružiny a odpor vzduchu) sú zanedbateľné. Pri pružine sa predpokladá, že presne platí Hookov zákon (úmernosť medzi silou a prodĺžením pružiny). Pružina je považovaná za nehmotnú; preto neuvažujeme silu, ktorá urýchľuje pohybujúce sa časti pružiny. Torzné kmitanie, ktoré se vyskytuje v reálnom kmitaní pružiny, sa tiež neberie do úvahy.

Pre popis okamžitej výchylky v čase t ako predĺženie (deformácia) od rovnovážnej polohy budeme používať súadnicu y. Soúradnica y môže byť buď kladná (keď je závažie vychýlené nad rovnovážnou polohou) alebo záporná (pod rovnovážnou polohou). Ako počiatočná podmienka sa predpokladá, že v čase t = 0 je pružina oscilátora natiahnutá do vzdialenosti ym a potom uvoľnená.

pružinový oscilátor

V ľavej časti náčrtu je zobrazená nezaťažená pružina. Uprostred je znázornené predĺženie pružiny v rovnovážnej polohe; tu sa pružina pretiahla v dôsledku hmotnosti do dĺžky y > 0. Vpravo je znázornený celkom všeobecný okamžik, keď platia podmienky y > 0 a |y| < y0. Nasledujúce úvahy sa predovšetkým zaoberajú týmto prípadom, platí však celkom všeobecne aj pre iné hodnoty y.

Predĺženie pružiny v rovnovážnej polohe

Predĺženie pružiny do rovnovážnej polohy y0 je spôsobené tiažovou silou FG = m·g a vyplýva priamo z Hookovho zákona:

Predĺženie pružiny z rovnovážnej polohy

y0 ... predĺženie pružiny v rovnovážnej polohe
m .... hmotnosť závažia
g .... tiažové zrýchlenie
k .... tuhosť pružiny

Odvodenie: vzťah medzi (vratnou) sílou a okamžitým prodĺžením

Na závažie pružinového oscilátora pôsobia dve sily - sila pružiny a tiažová sila. Sila pružiny sa opäť vypočíta podľa Hookovho zákona ako súčin tuhosti k a výrazu y0 − y. Tento výraz je rozdielom okamžitej výchylky a dĺžky pružiny v rovnovážnej polohe. Sila pružiny smeruje nahor a má teda kladné znamienko. Naopak tiažová sila FG = mg smeruje nadol, má teda znamienko záporné.

odvodenie celkovej sily

výraz celkovej sily

F ... (vratná) sila
k ... tuhosť pružiny
y ... okamžitá výchylka (predĺženie od rovnovážnej polohy)

Posledná rovnica ukazuje, že sila (vratná sila) pôsobiaca na závažie pružinového oscilátora je (až na znamienko) priamo úrná okamžitej výchylke. V takom prípade bude teleso vykonávať netlemené harmonické kmitanie, ktoré môže byť popísané pomocou harmonických funkcií sinus nebo kosinus. Všimnite si, že sa vo vzťahu celkovej sily vôbec nevyskytuje hmotnosť telesa.

Uhlová frekvencia a perióda kmitania

Výsledné harmonické kmitanie pružinového oscilátora je charakterizované tzv. uhlovou frekvenciou

uhlová frekvencia

ω ... uhlová frekvencia
k ... tuhosť pružiny
m ... hmotnosť závažia

alebo dobou jednoho kmitu (periódou).

perióda

T ... doba jednoho kmitu (perióda)
π ... Ludolfovo číslo (3,14159...)
k ... tuhosť pružiny
m ... hmotnosť závažia

Okamžitá výchylka

Okamžitú výchylku y môžeme teraz vyjadriť ako funkciu času t nasledujúcim spˆsobom:

okamžitá výchylka

y .... okamžitá výchylka (výchylka vzhľadom k rovnovážneh polohe)
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
t .... čas
k .... tuhosť pružiny
m .... hmotnosť závaží

Vo výraze je uvedená funkcia kosinus (a nie sinus), to vychádza z uvedeného začiatočného stavu. Ak dosadíme do výrazu začiatočný čas tj. t = 0, dostaneme (ako požadujeme) počiatočnú výchylku y = ym. Zdôvodnenie tohoto vzťahu bude uvedené neskôr, a to v časti týkajúcej sa sily.

Okamžitá rýchlosť

Rýchlosť v je složka rýchlosti do zvislého smeru. Pri pohybe smerom nahor je kladná, pri pohybe smerom nadol záporná. Rýchlosť je získaná ako derivácia (odvoďte) okamžitej výchylky y podľa času t.

Geschwindigkeit

v .... okamžitá rýchlosť
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
t .... čas
k .... tuhosť pružiny
m .... hmotnosť závažia

Pri dosadení t = 0 dostávame začiatočnú rýchlosť v = 0, čo splňuje začiatočnú podmienku, keď sa po uvolnení oscilátor nehýbe.

Okamžité zrýchlenie

Ďalším derivovaním predošlého výrazu podľa t získame výraz pre okamžité zrýchlenie a. Tiež aj tu je veľkosť – rovnako ako pri rýchlosti – daná aj so znamienkom.

okamžité zrýchlenie

a .... okamžité zrýchlenie
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
t .... čas
k .... tuhosť pružiny
m .... hmotnosť závažia

Okamžitá (vratná) sila

Okamžitá (vratná) sila pôsobiaca na závažie na pružine je daná druhým Newtonovým zákonom (Newtonov zákon sily) ako súčin hmotnosti a zrýchlenia.

okamžitá vratná sila

F .... (vratná) sila
m .... hmotnosť závažia
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
t .... čas
k .... tuhosť pružiny

Pozrieme sa, ako výraz pre silu F závisí na okamžitej výchylke y. Zistíme, že výraz pre silu je výraz pre okamžitú výchylku vynásobený znamienkom mínus a tuhosťou k. Získaný výraz je teda v súlade s naším (skôr uvedeným) výrazom:

výraz sily

F ... (vratná) sila
k ... tuhosť pružiny
y ... okamžitá výchylka

Tým je predložené zdôvodnenie tvaru platného, pre výraz okamžitej výchylky (pozri predtým).

Kinetická energia

Kinetickoú energiu (pohybovú energiu) pružinového oscilátora získame dosadením do známeho vzorca (súčin jednej polovice hmotnosti a kvadrátu rýchlosti).

kinetická energia

kinetická energia

Ek ... kinetická energia (pohybová energia)
m .... hmotnosť závažia
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
t .... čas
k .... tuhosť pružiny

Potenciálna energia

Pri potenciálnej energii (polohovej energii) pružinového oscilátora často panuje určitý zmätok. Dôvodem je to, že tu ide o dva rôzne typy potenciálnej energie, a to energiu pružnosti a energiu tiažového poľa (danej výškou). Všimnite si tiež, že potenciálna energia je jednoznačne určená voči stanovenému referenčnému bodu, v ktorom má potenciálna energia hodnotu 0. Je zrejmé, podľa dohody, že oba tieto druhy energie sú nulové v rovnovážnej polohe.

Pre energiu pružiny tak získavame:

Federenergie

Menšenec tohoto rozdielu vyplýva zo známeho vzorca energie pružniny (polovica tuhosti pružiny krát kvadrát predĺženia). Výraz y0 − y je tu opäť predĺženie pružiny oproti jej dĺžke v nezaťaženom stave. Menšiteľ je tu nevyhnutný preto, aby pre prípad y = 0 vychádzala energia rovná 0.

Výraz možno algebraickými úpravami upraviť na nasledujúci tvar:

Federenergie

Pre potenciálnu energiu tiažového poľa platí jednoduchý výraz:

Höhenergie

Aby sme získali celkovú potenciálnu energiu musíme sčítať obe energie tj. potenciálnu energiu pružnosti Ep1 a potenciálnu energiu tiažového poľa Ep2. Získame vzorec celkovej energie vzhľadom k rovnovážnej polohe y0.

Potentielle Energie

Je jasné, že – podobne ako vo vzťahu medzi silou a predĺžením – potenciálna energia tiažového poľa celkom vypadla. Vidíme, že výraz záleží len na okamžitej výchylke y (vztiahnuté k rovnovážnej polohe) a nie na výraze y0 − y (vztiahnuté k dĺžke nezaťenej pružiny). Možno teda jasne povedať, že celková potenciálna energia pružinového oscilátora je daná len potenciálnou energiou pružnosti.

Okamžitá hodnota potenciálnej energie môže byť tiež vyjadrená v tvare zodpovedajúcej kinetickej energii:

Potenciálna energia

Ep ... potenciálna energia (polohová energia)
k .... tuhosť pružiny
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
m .... hmotnosť závažia
t .... čas
ω .... uhlová frekvencia

Celková energia

Sčtaním kinetickej a potenciálnej energie dostaneme energiu celkovú. Úpravu vzorca prevedieme vytknutím spoločného člena z výrazov a použitím základného goniometrického vzorca (súčet kvadrátov funkcie sinus a kosinus rovnakého argumentu je rovný jednej).

Gesamtenergie

Ukazuje sa, že celková energia nezávisí na čase t. Čo zoodpovedá platnosti zákona zachovania energie!

Gesamtenergie

E .... celková energia
m .... hmotnosť závažia
ym ... amplitúda okamžitej výchylky (maximálna výchylka)
ω .... uhlová frekvencia
k .... tuhosť pružiny


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phsk/springpendulum_math_sk.htm
© Walter Fendt, 9. septembra 2007
Posledná aktualizácia: 13. augusta 2014

zpět Späť na hlavnú stránku