Borov modela atoma vodonika
Matematički dodatak

Negativno naelektrisani elektron se kreće po kružnoj putanji oko pozitivno naelektrisanog jezgra pod dejstvom privlačne elektrostatičke sile. Na taj način, u ovom kretanju elektrostatička sila predstavlja centripetalnu silu, pa važi:

m v2
r
 =  e2
4 π ε0 r2

m .... masa elektrona
v .... brzina elektrona
r .... poluprečnik orbite
e .... elementarno naelektrisanje
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma

Pored toga, po Borovom postulatu, stacionarne su samo orbite na kojima je moment količine kretanja celobrojni umnožak h/2π.

Borov kvantni uslov:
 
r m v  =  n × h
2 π

r ... poluprečnik orbite
m ... masa elektrona
v ... brzina elektrona
n ... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Plankova konstanta

Rešavanjem druge jednačine po v i zamenom te vrednosti u prvu jednačinu mogu se odrediti vrednosti poluprečnika stacionarnih orbita:

Poluprečnik orbite elektrona sa glavnim kvantnim brojem n:
 
r  =  h2 ε0
m e2 π
× n2

h .... Plankova konstanta
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
m .... masa elektrona
e .... elementarno naelektrisanje
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Ako se taj rezultat zameni umesto r u Borov kvantni uslov, mogu se odrediti vrednosti brzina na stacionarnim orbitama:

Brzina elektrona na orbiti sa glavnim kvantnim brojem n:
 
v  =  e2
2 ε0 h
× 1
 n

h .... Plankova konstanta
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
e .... elementarno naelektrisanje
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Primenom formule E   =   Epot + Ekin   =   − e2 / (4 π ε 0 r) + (m / 2) v2, dobija se izraz za energiju elektrona u stacionarnom stanju:

Energija elektrona na orbiti sa glavnim kvantnim brojem n:
 
E  =  −  m e4
8 ε02 h2
× 1
 n2

m .... masa elektrona
e .... elementarno naelektrisanje
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
h .... Plankova konstanta
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

U ovim proračunima je smatrano da se centar mase sistema jezgro-elektron nalazi u centru atoma. Striktno govreći, ovo nije tačno, jer iako je masa jezgra mnogo veća od mase elektrona, ona nije beskonačna. Korekcija koja se uvodi zbog ovoga je mala, i sastoji se u tome da se umesto mase elektrona u gornje izraze uvede redukovana masa sistema m', data izrazom:

Redukovana masa sistema elektron-jezgro:
 
m'  =  mj m
mj + m

m .... masa elektrona
mj ... masa jezgra


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phsr/bohrmodel_math_sr.htm
Walter Fendt, 29. maj 1999.
Prevod i obrada: dr Zlatan Šoškić
Poslednja izmena: 31. mart 2016.

back Povratak na glavnu stranu