نموذج بور لذرة الهيدروجين
الملحق الرياضي

يخضع الإلكترون ذو الشحنة الكهربائية السالبة إلى قوة كهربائية جاذبة من قبل النواة المشحونة إيجابا، فتكون حركته دائرية و القوة المطبقة عليه مركزية:

m v2 / r   =   e2 / (4 p e0 r2)

... mكتلة الإلكترون
...v
سرعة الإلكترون
...r
شعاع المدار
...e
الشحنة الابتدائية
...
e0سماحية الفراغ

لا يمكن أن يوجد الإلكترون إلا في مدارات معينة و التي يكون فيها العزم الحركي مضاعفا صحيحا للقيمة h/(2p)

الشــــرط الكمــــــي لبــــــور:

 

r m v   =   n h / (2p)

... r شعاع المدار
... m
كتلة الإلكترون
... v
سرعة الإلكترون
... n
العدد الرئيسي الكمي (n = 1, 2, 3, ...)
... h
ثابتة بلانك

إن الشرط الكمي لبور يوافق النظرة الموجية للمادة (موجة دو بروغلي)، فطول الموجة المقابل لإلكترون ذي سرعة v يعطى بالعلاقة:

l   =   h/ (m v).

و لكي توجد مثل هذه الموجة، فلابد أن يكون شعاع المدار مضاعفا صحيحا لطول الموجة وفق العلاقة التالية:

2 r p   =   n h / (m v)

و هذا يوافق شرط بور، و بدمج العلاقتين السابقتين نستنتج صيغة شعاع المدار بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

صيغة شعاع المدار بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

r   =   (h2 e0 / (m e2 p)) ∑ n2

... h ثابتة بلانك
... m
كتلة الإلكترون
... e
الشحنة الابتدائية
... n
العدد الكمي الرئيسي (n = 1, 2, 3, ...)
...
e0سماحية الفراغ

باستعمال العلاقة:

E   =   Epot + Ec   =   - e2 / (4 pe0 r) + (m / 2) v2

نحصل على تعبير طاقة ذرة الهيدروجين بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

طاقة ذرة الهيدروجين بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

 

E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) ∑ 1 / n2

... m كتلة الإلكترون
... e
الشحنة الابتدائية
...
e0سماحية الفراغ
... h
ثابتة بلانك
... n
العدد الكمي الرئيسي (n = 1, 2, 3, ...)

للحصول على نتائج أكثر واقعية، يجب إدخال بعض التصحيحات،أكيد أن كتلة النواة أكبر بكثير من كتلة الإلكترون، الإلكترون و النواة يحومان حول مركز ثقلهما المشترك، الذي لا يوجد بالضرورة بمركز الذرة، وللأخذ بعين الاعتبار هذه النقط، ينبغي استبدال كتلة الإلكترون m بالكتلة المخفضة في الصيغة السابقة:

الكتلة المخفضة:

 

m' = mN m / (mN + m)

... m كتلة الإلكترون
... mN
كتلة النواة


URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ar/bohrmath_ar.htm

© Walter Fendt, 29 mai 1999
© ترجمة: تليوى بوبكر 16/05/2009

zurück