نموذج بور لذرة الهيدروجين
الملحق الرياضي

يخضع الإلكترون ذو الشحنة الكهربائية السالبة إلى قوة كهربائية جاذبة من قبل النواة المشحونة إيجابا، فتكون حركته دائرية و القوة المطبقة عليه مركزية:

... mكتلة الإلكترون
...v سرعة الإلكترون
...r شعاع المدار
...e الشحنة الابتدائية
... e₀سماحية الفراغ

لا يمكن أن يوجد الإلكترون إلا في مدارات معينة و التي يكون فيها العزم الحركي مضاعفا صحيحا للقيمة h/(2p)

... r شعاع المدار
... m كتلة الإلكترون
... v سرعة الإلكترون
... n العدد الرئيسي الكمي (n = 1, 2, 3, ...)
... h ثابتة بلانك

إن الشرط الكمي لبور يوافق النظرة الموجية للمادة (موجة دو بروغلي)، فطول الموجة المقابل لإلكترون ذي سرعة v يعطى بالعلاقة:

l   =   h/ (m v).

و لكي توجد مثل هذه الموجة، فلابد أن يكون شعاع المدار مضاعفا صحيحا لطول الموجة وفق العلاقة التالية:

2 r p   =   n h / (m v)

و هذا يوافق شرط بور، و بدمج العلاقتين السابقتين نستنتج صيغة شعاع المدار بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

... h ثابتة بلانك
... m كتلة الإلكترون
... e الشحنة الابتدائية
... n العدد الكمي الرئيسي (n = 1, 2, 3, ...)
... e₀سماحية الفراغ

باستعمال العلاقة:

E   =   E_pot + E_c   =   - e² / (4 pe₀ r) + (m / 2) v²

نحصل على تعبير طاقة ذرة الهيدروجين بدلالة العدد الكمي الرئيسي:

... m كتلة الإلكترون
... e الشحنة الابتدائية
... e₀سماحية الفراغ
... h ثابتة بلانك
... n العدد الكمي الرئيسي (n = 1, 2, 3, ...)

للحصول على نتائج أكثر واقعية، يجب إدخال بعض التصحيحات،أكيد أن كتلة النواة أكبر بكثير من كتلة الإلكترون، الإلكترون و النواة يحومان حول مركز ثقلهما المشترك، الذي لا يوجد بالضرورة بمركز الذرة، وللأخذ بعين الاعتبار هذه النقط، ينبغي استبدال كتلة الإلكترون m بالكتلة m’ المخفضة في الصيغة السابقة:

... m كتلة الإلكترون
... m_N كتلة النواة

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ar/bohrmath_ar.htm

© Walter Fendt, 29 mai 1999
© ترجمة: تليوى بوبكر 16/05/2009