التذبذبات القسرية
ملحق رياضي

يتميز النواس المرن بصلابته k وكتلته m و ثابتة التخفيف G (G مقدار يميز قوة الاحتكاك التي نفترض أنها تتناسب مع السرعة). ينتقل الطرف العلوي للنواس وفق المعادلة الزمنية:

y_E : استطالة المثير بالنسبة لوضع التوازن، A_E: وسع تذبذبات المثير، w: النبض، t: الزمن.

يتعلق الأمر بإيجاد تعبير استطالة تذبذبات الرنان بالنسبة إلى موضع توازنه بدلالة الزمن t باستخدام العلاقة:

إن مقاربة هذه المسألة تتم بالرجوع إلى المعادلات التفاضلية التالية:

ينبغي لحل هذه المسألة التمييز بين عدة حالات:

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 [A₁ sin (w₁t) + B₁ cos (w₁t)]
w₁   =   (w₀² – G²/4)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   – A_el

y(t)   =   (A_E w t / 2) sin (wt)

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E w₀² G w / (w₀² + w²)²
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / (w₀² + w²)²
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el)
B₁   =   – A_el

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 [A₁ sinh (w₁t) + B₁ cosh (w₁t)]
w₁   =   (G²/4 – w₀²)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   – A_el

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ar/resmath_ar.htm

© Walter Fendt, 9 septembre 1998
© ترجمة: بوبكر تليوى 16/05/2009

العودة إلى الصفحة الرئيسية