التذبذبات القسرية
ملحق رياضي

يتميز النواس المرن بصلابته k وكتلته m و ثابتة التخفيف G (G مقدار يميز قوة الاحتكاك التي نفترض أنها تتناسب مع السرعة). ينتقل الطرف العلوي للنواس وفق المعادلة الزمنية:

yE   =  AEcos( w0 t )

yE : استطالة المثير بالنسبة لوضع التوازن، AE: وسع تذبذبات المثير، w: النبض، t: الزمن.

 

يتعلق الأمر بإيجاد تعبير استطالة تذبذبات الرنان بالنسبة إلى موضع توازنه بدلالة الزمن t باستخدام العلاقة:

w0 = (k/m)1/2

إن مقاربة هذه المسألة تتم بالرجوع إلى المعادلات التفاضلية التالية:

y''(t)   =   w02 (AE cos (wt) – y(t))   –   G y'(t)
    y(0) = 0;   y'(0) = 0 :الشروط البدئية

ينبغي لحل هذه المسألة التمييز بين عدة حالات:

Case 1: G < 2 w0
 
Case 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 or w ¹ w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–Gt/2 [A1 sin (w1t) + B1 cos (w1t)]
w1   =   (w02 – G2/4)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 – w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 – w2) / [(w02 – w2)2 + G2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

Case 1.2: G < 2 w0; G = 0 and w = w0

y(t)   =   (AE w t / 2) sin (wt)

Case 2: G = 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–Gt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE w02 G w / (w02 + w2)2
Ael   =   AE w02 (w02 – w2) / (w02 + w2)2
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael)
B1   =   – Ael

Case 3: G > 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–Gt/2 [A1 sinh (w1t) + B1 cosh (w1t)]
w1   =   (G2/4 – w02)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 – w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 – w2) / [(w02 – w2)2 + G2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ar/resmath_ar.htm

© Walter Fendt, 9 septembre 1998
© ΚΡΜγΙ: ΘζΘίΡ Κανζμ 16/05/2009

back العودة إلى الصفحة الرئيسية