Oscilações Forçadas
Apêndice Matemático

A mola é caracterizada pela constante da mola D, a massa m e a constante de atenuação Γ. (Γ é uma medida de atrito, adotada como proporcional à velocidade).
O topo da mola se move de cima para baixo de acordo com a fórmula: yE   =   AE cos (ωt).
O yE da fórmula significa a elongação do estímulo comparada com a posição central; AE é a amplitude da oscilação, ω significa a frequência angular correspondente e t é o tempo.

Está é uma questão de encontrar a medida de elongação y (comparada com sua posição inicial) num dato tempo t. Usando ω0   =   (D/m)1/2 este problema é descrito pela seguinte equação diferencial:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Condições iniciais:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Se você quer resolver estas equações diferenciais, terá que distinguir entre os vários casos:

Caso 1: Γ < 2 ω0
 
Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 or ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Caso 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14br/resmath_br.htm
© Walter Fendt, 1998-09-09
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano - CEPA
Última modificação: 2003-01-20

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