Bohrov model atoma vodika
Matematički dodatak

Električki negativno nabijeni elektron se kreće po kružnoj putanji oko električki pozitivno nabijene jezgre pod djelovanjem privlačne elektrostatičke sile. Na taj način, u ovom kretanju elektrostatička sila predstavlja centripetalnu silu, pa vrijedi:

m*v2 / r   =   e2 / (4*p*e0*r2)

m .... masa elektrona
v .... brzina elektrona
r .... polumjer putanje
e .... elementarni naboj
ε0 ... dielektrična vodljivost vakuuma

Osim toga, po Bohrovom postulatu, stacionarne su samo putanje na kojima je moment količine gibanja cjelobrojni umnožak h/2π.

Bohrov kvantni uvjet:
 
r*m*v   =   n*h / (2*p)

r ... polumjer putanje
m ... masa elektrona
v ... brzina elektrona
n ... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konstanta

Rješavanjem druge jednadžbe po v i uvođenjem te vrijednosti u prvu jednadžbu mogu se odrediti vrijednosti polumjera stacionarnih putanja:

Polumjer putanje elektrona sa glavnim kvantnim brojem n:
 
r   =   (h2*e0 / (m*e2*p)) · n2

h .... Planckova konstanta
ε0 ... dielektrična vodljivost vakuuma
m .... masa elektrona
e .... elementarni naboj
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Ako se taj rezultat zamjeni umjesto r u Bohrov kvantni uvjet, mogu se odrediti vrijednosti brzina na stacionarnim putanjama:

Brzina elektrona na putanji sa glavnim kvantnim brojem n:
 
v   =   1/n (e2 / 2 ε0 h)

h .... Planckova konstanta
ε0 ... dielektrična vodljivost vakuuma
e .... elementarni naboj
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Primjenom izraza E   =   Epot + Ekin   =   - e2 / (4 π ε 0 r) + (m / 2) v2, dobiva se izraz za energiju elektrona u stacionarnom stanju:

Energija elektrona na putanji sa glavnim kvantnim brojem n:
 
E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) · 1 / n2

m .... masa elektrona
e .... elementarni naboj
ε0 ... dielektrična vodljivost vakuuma
h .... Planckova konstanta
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

U ovim proračunima je smatrano da se centar mase sustava jezgra-elektron nalazi u središtu atoma. Strogo govoreći, ovo nije točno, jer iako je masa jezgre puno veća od mase elektrona, ona nije beskonačna. Korekcija koja se uvodi zbog ovoga je mala, i sastoji se u tome da se umjesto mase elektrona u gornje izraze uvede reducirana masa sustava m', dana izrazom:

Reducirana masa sustava elektron-jezgra:
 
m' = mj m / (mj + m)

m .... masa elektrona
mj ... masa jezgre


URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cr/bohrmath_cr.htm
© Walter Fendt, 29. svibnja 1999.
© Prijevod i obrada: Ivan Karšaj
Zadnja izmjena: 8. veljače 2006.

back Home