Njihalo s oprugom je opisano konstantom opruge k, masom utega m i koeficijentom prigušenja Γ. (Γ je mjera
sile otpora gibanju u mjeri u kojoj je otpor proporcionalan brzini gibanja.)
Pobuđivač titranja gibajući se u okomitom pravcu prema jednadžbi
yE = AE cos (ωt).
yE predstavlja elongaciju pobuđivača, odnosno pomak u odnosu na srednji položaj
pobuđivača; AE predstavlja amplitudu pobuđivača, ω odgovarajuću kružnu frekvenciju pobude, a t vrijeme.
Zadatak je određivanje ovisnosti elongacije njihala od vremena. Koristeći zamjenu ω0 = (k/m)1/2 problem se opisuje slijedećom diferencijalnom jednadžbom:
|
y''(t) = ω02
(AE cos (ωt) – y(t))
– Γ y'(t) Početni uvjeti: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Ako želite riješiti ovu diferencijalnu jednadžbu, potrebno je razlikovati slijedeće slučajeve:
| Slučaj 1: Γ < 2 ω0 |
| Slučaj 1.1: Γ < 2 ω0; G ¹ 0 or ω ¹ ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
[A1 sin (ω1t)
+ B1 cos (ω1t)]
ω1 =
(ω02
– Γ2/4)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = – Ael
| Slučaj 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0 |
y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt)
| Slučaj 2: Γ = 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ (ω02
+ ω2)2
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ (ω02
+ ω2)2
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
B1 = – Ael
| Slučaj 3: Γ > 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
[A1 sinh (ω1t)
+ B1 cosh (ω1t)]
ω1 =
(Γ2/4
– ω02)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = – Ael
|
|
| Appleti za Fiziku |
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cr/resmath_cr.htm
© Walter Fendt, 9. rujna 1998.
© Prijevod i obrada: Ivan Karšaj
Zadnja izmjena: 8. veljače 2006.
