Prisilno titranje
Matematički dodatak

Njihalo s oprugom je opisano konstantom opruge k, masom utega m i koeficijentom prigušenja Γ. (Γ je mjera sile otpora gibanju u mjeri u kojoj je otpor proporcionalan brzini gibanja.)
Pobuđivač titranja gibajući se u okomitom pravcu prema jednadžbi yE   =   AE cos (ωt).
yE predstavlja elongaciju pobuđivača, odnosno pomak u odnosu na srednji položaj pobuđivača; AE predstavlja amplitudu pobuđivača, ω odgovarajuću kružnu frekvenciju pobude, a t vrijeme.

Zadatak je određivanje ovisnosti elongacije njihala od vremena. Koristeći zamjenu ω0   =   (k/m)1/2 problem se opisuje slijedećom diferencijalnom jednadžbom:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) – y(t))   –   Γ y'(t)
Početni uvjeti:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Ako želite riješiti ovu diferencijalnu jednadžbu, potrebno je razlikovati slijedeće slučajeve:

Slučaj 1: Γ < 2 ω0
 
Slučaj 1.1: Γ < 2 ω0; G ¹ 0 or ω ¹ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 – Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

Slučaj 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Slučaj 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 – ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   – (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   – Ael

Slučaj 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 – ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

 

 
Fizika
Appleti za Fiziku

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cr/resmath_cr.htm
© Walter Fendt, 9. rujna 1998.
© Prijevod i obrada: Ivan Karšaj
Zadnja izmjena: 8. veljače 2006.

back Povratak na stranicu rezonancije