Tvungne svingninger
Matematisk tillæg

Fjederpendulet er karakteriseret ved fjederkonstanten D, massen og dæmpningskonstanten Γ. (Γ er et mål for friktionskraften antaget værende proportional med hastigheden).
Fjederpendulets ophæng bevæges op og ned efter formlen yE   =   AE cos (ωt)..
yE er her den ydre påvirkers udsving i forhold til midterstillingen; AE er den ydre påvirkers amplitude, ω er den tilsvarende vinkelfrekvens og t er tiden.

Det gælder nu om at finde størrelsen af resonatorens udsving y (i forhold til dens midterstilling) til tiden t. Sætter vi ω0   =   (D/m)1/2 kan problemet beskrives ved den følgende differentialligning:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Startbetingelser:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Ved løsning af denne differentialligning må vi opdele i flere tilfælde:

Tilfælde 1: Γ < 2 ω0
 
Tilfælde 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 eller ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Tilfælde 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 og ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Tilfælde 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Tilfælde 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph11dk/resmath_dk.htm
© Walter Fendt, 1998-09-09
© Dansk version: Morten Brydensholt (ORBIT)
Sidste ændring: 2003-01-12

zurück Tilbage til hovedsiden