Tvungne svingninger
Matematisk tillæg

Fjederpendulet er karakteriseret ved fjederkonstanten D, massen og dæmpningskonstanten G. (G er et mål for friktionskraften antaget værende proportional med hastigheden).
Fjederpendulets ophæng bevæges op og ned efter formlen y_E   =    A_E cos (wt).
y_E er her den ydre påvirkers udsving i forhold til midterstillingen; A_E er den ydre påvirkers amplitude, w er den tilsvarende vinkelfrekvens og t er tiden.

Det gælder nu om at finde størrelsen af resonatorens udsving y (i forhold til dens midterstilling) til tiden t. Sætter vi w₀   =   (D/m)^1/2 kan problemet beskrives ved den følgende differentialligning:

Ved løsning af denne differentialligning må vi opdele i flere tilfælde:

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 [A₁ sin (w₁t) + B₁ cos (w₁t)]
w₁   =   (w₀² – G²/4)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   – A_el

y(t)   =   (A_E w t / 2) sin (wt)

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E w₀² G w / (w₀² + w²)²
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / (w₀² + w²)²
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el)
B₁   =   – A_el

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^–Gt/2 [A₁ sinh (w₁t) + B₁ cosh (w₁t)]
w₁   =   (G²/4 – w₀²)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² – w²) / [(w₀² – w²)² + G² w²]
A₁   =   – (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   – A_el

URL: http://www.walter-fendt.de/ph11dk/resmath_dk.htm
URL: http://www.systime.dk/cd/orbit/Film/walter.fendt/physdk/resmatdk.htm
© Walter Fendt, 1998-09-09
© Dansk version: Morten Brydensholt (ORBIT)
Sidste ændring: 2003-01-12

Tilbage til hovedsiden

Oversat af