A hidrogén Bohr-féle atommodelje
Matematikai függelék

A hidrogén atom (negatív töltésű) elektronját az elektrosztatikus vonzóerő tartja körpályán a (pozitívan töltött) atommag körül. Newton II. törvénye szerint jelen esetben a Coulomb-féle erő egyenlő a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzatával:

m v2 / r   =   e2 / (4 p e0 r2)

m .... az elektron tömege
v .... az elektron sebessége
r .... a pálya sugara
e .... elemi töltés
e0 ... vákuum permittivitás

De csak azok a pályasugarak a megengedettek, melyekre az impulzusmomentum a h/(2p) egész számú többszöröse.

Bohr-féle kvantálási feltétel:
 
r m v   =   n h / (2p)

r ... a pálya sugara
m ... az elektron tömege
v ... az elektron sebessége
n ... főkvantumszám(n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planck-állandó

A Bohr-féle kvantálási feltétel hihetőnek hangzik, ha elfogadjuk a de Broglie hullámok (az anyag hullám tulajdonsága) gondolatát kiindulásként: Az elektronhoz tartozó hullámhossz l   =   h / (m v). Ahhoz, hogy a mag körül állóhullám legyen szükséges feltétel, hogy a pálya kerülete a hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Ebből azt kapjuk: 2 r p   =   n h / (m v), ami bizonyítja a fent említett kvantálási feltételt.

A második egyenletből v-t kifejezve, és azt behelyettesítve az első egyenletbe a megengedett pályasugarakra a következő eredményt kapjuk:

Az n főkvantumszámú állapot pályasugara:
 
r   =   (h2 e0 / (m e2 p)) · n2

h .... Planck-állandó
e0 ... vákuum permittivitás
m .... elektron tömege
e .... elemi töltés
n .... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)

Felhasználva: E   =   Epot + Ekin   =   - e2 / (4 p e0 r) + (m / 2) v2
kapjuk, hogy:

a hidrogén atom n főkvantumszámú állapotának energiája:
 
E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) · 1 / n2

m .... elektron tömege
e .... elemi töltés
e0 ... vákuum permittivitás
h .... Planck-állandó
n .... főkvantumszám (n = 1, 2, 3, ...)

Szigorúan véve apró módosítást kell eszközölnünk ezen a képleten. Bár a mag tömege jóval nagyobb, mint az elektroné, de nem végtelen. Ezért az elektron is és a mag is a közös tömegközéppontjuk körül kering, mely nem esik teljesen egybe az atom középpontjával. Ha ezt is figyelembevesszük, akkor az elektron (m) tömegét ki kell cserélnünk az m' úgynevezett redukált tömeggel:

Az elektron redukált tömege:
 
m' = mN m / (mN + m)

m .... elektron tömege
mN ... mag tömege


URL: http://www.walter-fendt.de/ph14hu/bohrmath_hu.htm
© Walter Fendt 1999. május 29.
© Serényi Tamás 2004. március 15
Utolsó módosítás: 2004. május 22.

back Vissza a főoldalra