Kényszerrezgés
matematikai függelék

A rugót a D rugóállandóval, a test m tömegével és a G csillapítással jellemezzük. (A súrlódási erő arányos a sebességgel és az arányossági tényező G.)
A rugó tetejét a következő képlet szerint mozgatjuk: yE   =   AE cos (wt).
Ahol yE a gerjesztés kitérését jelöli; AE a gerjesztés amplitudója, w a gerjesztés körfrekvenciája, és t az idő.

A test y kitérésének a t időtől való függését keressük. Felhasználva az w0   =   (D/m)1/2 képletet, az alábbi differenciálegyenlet írja le a problémát:

y''(t)   =   w02 (AE cos (wt) – y(t))   –   G y'(t)
Kezdeti feltételek:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

A differenciálegyenlet megoldásához a következő eseteket kell vizsgálnunk:

1. eset: G < 2 w0
 
1.1. eset: G < 2 w0; G ¹ 0 vagy w ¹ w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   eGt/2 [A1 sin (w1t) + B1 cos (w1t)]
w1   =   (w02G2/4)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02w2) / [(w02w2)2 + G2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

1.2. eset: G < 2 w0; G = 0 és w = w0

y(t)   =   (AE w t / 2) sin (wt)

2. eset: G = 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   eGt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE w02 G w / (w02 + w2)2
Ael   =   AE w02 (w02w2) / (w02 + w2)2
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael)
B1   =   – Ael

3. eset: G > 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   eGt/2 [A1 sinh (w1t) + B1 cosh (w1t)]
w1   =   (G2/4 – w02)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02w2) / [(w02w2)2 + G2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14hu/resmath_hu.htm
© Walter Fendt 1998. szeptember 9.
© Serényi Tamás 2004. január 26.

back Vissza a főoldalra