Gedwongen oscillaties
Wiskundige bijlage

De trilling van een veersysteem wordt bepaald door de veerconstante D, de massa m en de dempingfactor Γ. (Γ is een maat voor de wrijvingskracht en wordt verondersteld evenredig met de snelheid te zijn.)
De top van de veer wordt op en neer bewogen overeenkomstig de formule yE   =   AE cos (ωt).
yE is de uitwijking van de trillingsbron vanuit de middenpositie; AE is de amplitude van de trilling van de trillingsbron, ω is de overeenkomstige hoekfrequentie en t is de tijd.

De vraag is hoe je de grootte van de uitwijking y van de resonator (de massa aan de veer) ten opzichte van de middenstand in de tijd kunt berekenen. Gebruik makend van ω0   =   (D/m)1/2 wordt dit probleem beschreven door de volgende differentiaalvergelijking:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Beginwaarden:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Als je deze vergelijking wilt oplossen, moet je verschillende gevallen onderscheiden:

Geval 1: Γ < 2 ω0
 
Geval 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 of ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Geval 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 en ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Geval 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Geval 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14nl/resmath_nl.htm
© Walter Fendt, 9 september 1998
© Nederlandse bewerking: Teun Koops (juli 2000)
Laatst aangepast op 24 januari 2003

back Terug naar de hoofdpagina