Teoria de Bohr para o Átomo de Hidrogénio
Apêndice Matemático

O electrão com carga negativa do átomo de hidrogénio é obrigado a um movimento circular pelas forças electrostáticas provocadas pela carga positiva do núcleo que funciona como força centrípeta.

m v2 / r   =   e2 / (4 p e0 r2)

m .... massa do electrão
v .... velocidade do electrão
r .... raio da orbita
e .... carga elementar
e0 .... permitividade no vazio

No entanto, apenas alguns dos raios das orbitas são permitidos para os quais o momento angular é um múltiplo inteiro de h/(2p).

Condição quântica de Bohr:
 
r m v   =   n h / (2p)

r ... raio da orbita
m ... massa do electrão
v ... velocidade do electrão
n ... número quântico principal (n = 1, 2, 3, ...)
h ... constante de Planck

A condição quântica de Bohr parece plausível, se considerarmos a onda de de Broglie (ondas de matéria), como ponto de partida. Neste caso o electrão corresponde a uma onda de comprimento de onda l   =   h / (m v). Se considerarmos a existência de uma onda estacionária, é necessário que a circunferência da órbita corresponda a um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Assim sendo, temos 2 r p   =   n h / (m v), o que comprova a referida condição quântica.

Se resolvermos a segunda equação em ordem a v e inserirmos o resultado na primeira equação, obtemos o seguinte resultado para os raios possíveis:

Raio da orbita associado ao número quântico principal n:
 
r   =   (h2 e0 / (m e2 p)) · n2

h .... constante de Planck
e0 .... permitividade no vazio
m .... massa do electrão
e .... carga elementar
n .... número quântico principal (n = 1, 2, 3, ...)

Usando a expressão E   =   Epot + Ecin   =   - e2 / (4 p e0 r) + (m / 2) v2, temos:

Energia do átomo de hidrogénio relacionada com o número quântico principal n:
 
E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) · 1 / n2

m .... massa do electrão
e .... carga elementar
e0 .... permitividade no vazio
h .... constante de Planck
n .... número quântico principal n = 1, 2, 3, ...)

Estritamente falando, é necessário fazer uma pequena correcção a esta expressão. Sendo a massa do núcleo significativamente maior que a do electrão, o movimento é feito em torno de um centro de de massa comum o que pressupõe uma pequena correcção ao valor da massa do electrão (que designamos por massa reduzida) que pode ser dada por:

Massa reduzida do electrão:
 
m' = mN m / (mN + m)

m .... massa do electrão
mN ... massa do nucleo

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14pt/bohrmath_pt.htm
© Walter Fendt, Maio 29, 1999
Ultima actualização em Português, Maio 28, 2009

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