Oscilações Forçadas
Apêndice Matemático

O pêndulo em mola é caracterizado pela constante da mola D, a massa m e a consante e amortecimento G. (G é a medida do atrito obtida em função da sua proporcionalidade à velocidade.)
Ao topo da mola é aplicado um movimento de acordo com a expressão : y_E   =   A_E cos (wt).
y_E á a elongaçáo de excitação comparada com a posição média; A_E é a amplitude da oscilação de excitação, w a freqência angular e t o tempo.

Coloca-se então a questão de saber o valor da elongação de ressonância y (comparada com a posição média) para cada instante t. Usando w₀   =   (D/m)^1/2 este problema pode ser descrito com a seguinte equação diferencial:

Para resolver esta equação é necessário distinguir entre os diferentes casos possíveis:

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^−Gt/2 [A₁ sin (w₁t) + B₁ cos (w₁t)]
w₁   =   (w₀² − G²/4)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² − w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² − w²) / [(w₀² − w²)² + G² w²]
A₁   =   − (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   − A_el

y(t)   =   (A_E w t / 2) sin (wt)

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^−Gt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E w₀² G w / (w₀² + w²)²
A_el   =   A_E w₀² (w₀² − w²) / (w₀² + w²)²
A₁   =   − (A_abs w + (G/2) A_el)
B₁   =   − A_el

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^−Gt/2 [A₁ sinh (w₁t) + B₁ cosh (w₁t)]
w₁   =   (G²/4 − w₀²)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² − w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² − w²) / [(w₀² − w²)² + G² w²]
A₁   =   − (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   − A_el

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14pt/resmath_pt.htm
© Walter Fendt, Setembro 9, 1998
Ultima actualização em Português, Maio 29, 2009

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