Modelul lui Bohr al atomului de hidrogen
Studiu matematic

Electronul negativ al atomului de hidrogen este antrenat intr-o miscare circulara de catre forta electrica de atractie din partea sarcinii pozitive a nucleului. Deci forta electrostatica joaca rolul fortei centripete.

m v2
r
= e2
4 π ε0 r2

m ... masa electronului
v ... viteza electronului
r ... raza orbitala
e ... sarcina electrica elementara
ε0 ... permitivitatea electrica

Oricum, sunt permise numai acele valori ale razelor, pentru care momentul cinetic orbital este un multiplu intreg a lui h / (2 π).

Conditia de cuantificare a lui Bohr:
 
r m v = n · h

r ... raza orbitala
m ... masa electronului
v ... viteza electronului
n ... numar cuantic principal (n = 1, 2, 3, ...)
h ... constanta lui Planck

Conditia de cuantificare a lui Bohr suna plauzibil, daca acceptam ideea de unda Broglie (unda de materie) ca punct de pornire: Electronului i se asociaza o unda a carei lungime de unda λ   =   h / (m v).  Pentru ca unda sa fie stationara este necesar ca circunferinta orbitei sa fie un multipu intreg al lungimii de unda. Deci avem 2 r π   =   n h / (m v), care demonstreaza conditia de cuantificare mentionata mai sus.

Rezolvand ecuatia a doua pentru v si inlocuind acest rezultat in prima ecuatie, se obtine urmatorul rezultat pentru razele admise:

Raza orbitala pentru numarul cuantic principal n:
 
r = h2 ε0
m e2 π
· n2

h .... constanta lui Planck
ε0 ... permitivitatea electrica
m .... masa electronului
e .... sarcina electrica elementara
n .... numar cuantic principal (n = 1, 2, 3, ...)

Folosind formula E   =   Epot + Ekin   =   − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2, se obtine:

Energia atomului de hidrogen pentru numarul cuantic principal n:
 
E =  − m e4
8 ε02 h2
· 1
 n2

m .... masa electronului
e .... sarcina electrica elementara
ε0 ... permitivitatea electrica
h .... constanta lui Planck
n .... numarul cuantic principal (n = 1, 2, 3, ...)

Strict vorbind, este necesara o mica corectie la aceasta formula. Masa nucleului este cu siguranta mai mare decat a electronului, dar nu infinita. Astfel, electronul si nucleul atomic se rotesc in jurul centrului lor comun de greutate, care nu este exact identic cu centrul atomului. Daca luam acest lucru in considerare, trebuie sa inlocuim masa electronului (m) cu asa-numita masa redusa m' in formula de mai sus:

Masa redusa a electronului:
 
m' = mN m
mN + m

m .... masa electronului
mN ... masa nucleului

 

 

URL: http://www.walter-fendt/ph14ro/bohrmath_ro.htm
© Walter Fendt, 29 Mai 1999
© Traducere: Otmar Huhn, 30 Octombrie 2003

inapoi Inapoi la pagina principala