Sunteti curiosi?

Oscilatii fortate
Tratare Matematica

Pendulul elastic este caracterizat de constanta elastica D, masa m si constanta de atenuare Γ. (Γ este o masura a fortei de frecare, presupusa proportionala cu viteza.)
Oscilatiile suportului pendulului au loc dupa legea: yE   =   AE cos (ωt). Aici yE este elongatia excitatorului fata de pozitia centrala; AE este amplitudinea oscilatiei excitatorului, ω este frecventa corespunztoare, iar t timpul.

Vrem sa aflam cat de mare este elongatia y a rezonatorului (masurat asupra pozitiei centrale) la momentul de timp t. Folosind relatia ω0   =   (D/m)1/2 problema se reduce la rezolvarea urmatoarei ecuatii diferentiale:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Conditii initiale:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Pentru rezolvarea acestei ecuatii diferentiale distingem mai multe cazuri:

Cazul 1: Γ < 2 ω0
 
Cazul 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 sau ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Cazul 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Cazul 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Cazul 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ro/resmath_ro.htm
© Walter Fendt, 9 Septembrie 1998
© Traducere: Otmar Huhn, 30 Octombrie 2003

zurück inapoi la pagina principala