Sunteti curiosi?

Oscilatii fortate
Tratare Matematica

Pendulul elastic este caracterizat de constanta elastica D, masa m si constanta de atenuareG. (Geste o masura a fortei de frecare, presupusa proportionala cu viteza.)
Oscilatiile suportului pendulului au loc dupa legea: yE   =   AE cos (wt). Aici yE este elongatia excitatorului fata de pozitia centrala; AE este amplitudinea oscilatiei excitatorului, w este frecventa corespunztoare, iar t timpul.

Vrem sa aflam cat de mare este elongatia y a rezonatorului (masurat asupra pozitiei centrale) la momentul de timp t. Folosind relatia w0   =   (D/m)1/2 problema se reduce la rezolvarea urmatoarei ecuatii diferentiale :

y''(t)   =   w02 (AE cos (wt) - y(t))   -   G y'(t)
Conditii initiale:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Pentru rezolvarea acestei ecuatii diferentiale distingem mai multe cazuri:

Fall 1: G < 2 w0
 
cazul 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 oder w ¹ w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 [A1 sin (w1t) + B1 cos (w1t)]
w1   =   (w02 - G2/4)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   - Ael

cazul 1.2: G < 2 w0; G = 0 und w = w0

y(t)   =   (AE w t / 2) sin (wt)

cazul 2: G = 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE w02 G w / (w02 + w2)2
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / (w02 + w2)2
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael)
B1   =   - Ael

cazul 3: G > 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 [A1 sinh (w1t) + B1 cosh (w1t)]
w1   =   (G2/4 - w02)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   - Ael

 
 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14ro/resmath_ro.htm
© Walter Fendt, 9 Septembrie 1998
© Traducere: Otmar Huhn, 30 Octombrie 2003

zurück inapoi la pagina principala