Vuelta a la Página PrincipalEl muelle oscilante se caracteriza por la constante elástica D, la masa m y la constante de atenuación Γ. (Γ es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior,
según la fórmula
yE = AE cos (ωt).
En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo ω la frecuencia angular y t el tiempo.
Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo ω0 = (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:
|
y''(t) = ω02
(AE cos (ωt) − y(t))
− Γ y'(t) Condiciones iniciales: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:
| Caso 1: Γ < 2 ω0 |
| Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 o ω ≠ ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
[A1 sin (ω1t)
+ B1 cos (ω1t)]
ω1 =
(ω02 −
Γ2/4)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2
ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2
ω2]
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = − Ael
| Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 y ω = ω0 |
y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt)
| Caso 2: Γ = 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ (ω02
+ ω2)2
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ (ω02
+ ω2)2
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
B1 = − Ael
| Caso 3: Γ > 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e−Γt/2
[A1 sinh (ω1t)
+ B1 cosh (ω1t)]
ω1 =
(Γ2/4
− ω02)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2
ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
− ω2)
/ [(ω02
− ω2)2
+ Γ2
ω2]
A1 = − (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = − Ael
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14s/resmath_s.htm
© Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
© Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 17 Marzo 2010