Borov modela atoma vodonika
Matematički dodatak

Negativno naelektrisani elektron se kreće po kružnoj putanji oko pozitivno naelektrisanog jezgra pod dejstvom privlačne elektrostatičke sile. Na taj način, u ovom kretanju elektrostatička sila predstavlja centripetalnu silu, pa važi:

m v2 / r   =   e2 / (4 p e0 r2)

m .... masa elektrona
v .... brzina elektrona
r .... poluprečnik orbite
e .... elementarno naelektrisanje
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma

Pored toga, po Borovom postulatu, stacionarne su samo orbite na kojima je moment količine kretanja celobrojni umnožak h/2π.

Borov kvantni uslov:
 
r m v   =   n h / (2p)

r ... poluprečnik orbite
m ... masa elektrona
v ... brzina elektrona
n ... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Plankova konstanta

Rešavanjem druge jednačine po v i zamenom te vrednosti u prvu jednačinu mogu se odrediti vrednosti poluprečnika stacionarnih orbita:

Poluprečnik orbite elektrona sa glavnim kvantnim brojem n:
 
r   =   (h2 e0 / (m e2 p)) · n2

h .... Plankova konstanta
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
m .... masa elektrona
e .... elementarno naelektrisanje
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Ako se taj rezultat zameni umesto r u Borov kvantni uslov, mogu se odrediti vrednosti brzina na stacionarnim orbitama:

Brzina elektrona na orbiti sa glavnim kvantnim brojem n:
 
v   =   1/n (e2 / 2 ε0 h)

h .... Plankova konstanta
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
e .... elementarno naelektrisanje
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

Primenom formule E   =   Epot + Ekin   =   - e2 / (4 π ε 0 r) + (m / 2) v2, dobija se izraz za energiju elektrona u stacionarnom stanju:

Energija elektrona na orbiti sa glavnim kvantnim brojem n:
 
E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) · 1 / n2

m .... masa elektrona
e .... elementarno naelektrisanje
ε0 ... dielektrična propustljivost vakuuma
h .... Plankova konstanta
n .... glavni kvantni broj (n = 1, 2, 3, ...)

U ovim proračunima je smatrano da se centar mase sistema jezgro-elektron nalazi u centru atoma. Striktno govreći, ovo nije tačno, jer iako je masa jezgra mnogo veća od mase elektrona, ona nije beskonačna. Korekcija koja se uvodi zbog ovoga je mala, i sastoji se u tome da se umesto mase elektrona u gornje izraze uvede redukovana masa sistema m', data izrazom:

Redukovana masa sistema elektron-jezgro:
 
m' = mj m / (mj + m)

m .... masa elektrona
mj ... masa jezgra

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14yu/bohrmath_yu.htm
© Walter Fendt, 29. maj 1999.
© Prevod i obrada: dr Zlatan Šoškić
Poslednja izmena: 26. avgust 2004.

back Povratak na glavnu stranu