Klatno sa oprugom se karakteriše konstantom opruge k, masom tega m i koeficijentom prigušenja Γ. (Γ je mera sile otpora kretanju u meri u kojoj je otpor proporcionalan brzini kretanja.)
Pobuđivač osciluje krećući se u vretikalnom pravcu prema jednačini
yE = AE cos (ωt).
yE predstavlja elongaciju pobuđivača, odnosno pomeraj u odnosu na srednji položaj pobuđivača; AE predstavlja amplitudu pobuđivača, ω odgovarajuću kružnu frekvencu pobude, a t vreme.
Zadatak je određivanje zavisnosti elongacije klatna od vremena. Koristeći smenu ω0 = (k/m)1/2 problem se opisuje sledećom diferencijalnom jednačinom:
|
y''(t) = ω02
(AE cos (ωt) – y(t))
– Γ y'(t) Početni uslovi: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Ako želite da rešite ovu diferencijalnu jednačinu, potrebno je razlikovati sledeće slučajeve:
| Slučaj 1: Γ < 2 ω0 |
| Slučaj 1.1: Γ < 2 ω0; G ¹ 0 or ω ¹ ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
[A1 sin (ω1t)
+ B1 cos (ω1t)]
ω1 =
(ω02
– Γ2/4)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = – Ael
| Slučaj 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 and ω = ω0 |
y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt)
| Slučaj 2: Γ = 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ (ω02
+ ω2)2
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ (ω02
+ ω2)2
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
B1 = – Ael
| Slučaj 3: Γ > 2 ω0 |
y(t) = Aabs sin (ωt)
+ Ael cos (ωt)
+ e–Γt/2
[A1 sinh (ω1t)
+ B1 cosh (ω1t)]
ω1 =
(Γ2/4
– ω02)1/2
Aabs = AE
ω02
Γ ω
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
Ael = AE
ω02
(ω02
– ω2)
/ [(ω02
– ω2)2
+ Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω
+ (Γ/2) Ael)
/ ω1
B1 = – Ael
|
|
| Apleti za Fiziku |
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14yu/resmath_yu.htm
© Walter Fendt, 9. septembar 1998.
© Prevod i obrada: dr Zlatan Šoškić
Poslednja izmena: 26. avgust 2004.
