Das Bohrsche Modell des Wasserstoffatoms
Mathematischer Anhang

Das negativ geladene Elektron des Wasserstoffatoms wird durch die anziehende Coulomb-Kraft des positiv geladenen Atomkerns zu einer Kreisbewegung veranlasst. Die Coulomb-Kraft ist hier also Zentripetalkraft.

m v2
r
= e2
4 π ε0 r2

m .... Masse des Elektrons
v .... Geschwindigkeit des Elektrons
r .... Bahnradius
e .... Elementarladung
ε0 ... elektrische Feldkonstante

Allerdings sind nur bestimmte Bahnradien erlaubt, nämlich solche, bei denen der Bahndrehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von h / (2 π) ist.

Bohrsche Quantenbedingung:
 
r m v = n · h
2 π

r ... Bahnradius
m ... Masse des Elektrons
v ... Geschwindigkeit des Elektrons
n ... Hauptquantenzahl (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Plancksches Wirkungsquantum

Die Bohrsche Quantenbedingung erscheint plausibel, wenn man von der Vorstellung einer Materiewelle (De-Broglie-Welle) ausgeht: Dem Elektron entspricht eine Welle der Wellenlänge λ   =   h / (m v). Damit sich diese Welle nicht selbst auslöscht, muss der Umfang der Elektronenbahn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein. Es gilt also 2 r π   =   n h / (m v), woraus die oben erwähnte Quantenbedingung folgt.

Löst man die zweite Gleichung nach v auf und setzt man das Ergebnis in die erste Gleichung ein, so erhält man folgendes Resultat für die möglichen Radien:

Bahnradius im Zustand mit der Hauptquantenzahl n:
 
r = h2 ε0
m e2 π
· n2

h .... Plancksches Wirkungsquantum
ε0 ... elektrische Feldkonstante
m .... Masse des Elektrons
e .... Elementarladung
n .... Hauptquantenzahl (n = 1, 2, 3, ...)

Mit Hilfe des Ansatzes E   =   Epot + Ekin   =   − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 erhält man daraus:

Energie des Wasserstoffatoms im Zustand mit der Hauptquantenzahl n:
 
E =  − m e4
8 ε02 h2
· 1
 n2

m .... Masse des Elektrons
e .... Elementarladung
ε0 ... elektrische Feldkonstante
h .... Plancksches Wirkungsquantum
n .... Hauptquantenzahl (n = 1, 2, 3, ...)

Streng genommen muss man dieses Ergebnis noch ein wenig korrigieren. Die Masse des Atomkerns ist zwar viel größer als die des Elektrons, aber nicht unendlich groß. Elektron und Atomkern kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, der nicht genau mit dem Mittelpunkt des Atoms zusammenfällt. Um dies zu berücksichtigen, muss man in der letzten Formel die Elektronenmasse m durch die so genannte reduzierte Masse m' ersetzen:

Reduzierte Masse des Elektrons:
 
m' = mK m
mK + m

m .... Masse des Elektrons
mK ... Masse des Atomkerns


URL: http://www.walter-fendt.de/ph14d/bohrmath.htm
© Walter Fendt, 29. Mai 1999
Letzte Änderung: 2. Februar 2010

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