Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Mathematischer Anhang

Zur Beschreibung von Kreisbewegungen verwendet man neben der Geschwindigkeit im üblichen Sinn häufig die Winkelgeschwindigkeit. Diese ist definiert als Quotient des durchlaufenen Winkels (im Bogenmaß) und der dafür benötigten Zeit. Die Zeit für einen Umlauf wird üblicherweise mit T abgekürzt. Der entsprechende Winkel beträgt im Bogenmaß 2 π.

Winkelgeschwindigkeit

ω ... Winkelgeschwindigkeit
π ... Kreiszahl (3,14159...)
T ... Umlaufdauer

Es wird vorausgesetzt, dass sich ein (im Idealfall punktförmiger) Körper mit gegebener Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit gegebenem Radius bewegt. Die momentane Position des Körpers wird durch kartesische Koordinaten ausgedrückt.

Koordinaten als Funktionen der Zeit

t ... Zeit
x ... erste Koordinate
y ... zweite Koordinate
r ... Radius
ω ... Winkelgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeitskomponenten erhält man durch Differenzieren bezüglich der Zeit t (Kettenregel beachten!). vx und vy bilden zusammen den Geschwindigkeitsvektor, der tangential zur Kreisbahn gerichtet ist.

Geschwindigkeitskomponenten als Funktionen der Zeit

t .... Zeit
vx ... erste Komponente des Geschwindigkeitsvektors
vy ... zweite Komponente des Geschwindigkeitsvektors
r .... Radius
ω .... Winkelgeschwindigkeit

Für den Betrag des Geschwindigkeitsvektors ergibt sich:

Geschwindigkeitsbetrag

v ... Geschwindigkeit (Betrag des Geschwindigkeitsvektors)
r ... Radius
ω ... Winkelgeschwindigkeit

Erneutes Differenzieren bezüglich t liefert die Komponenten des Beschleunigungsvektors. Dieser ist nach innen, also zum Mittelpunkt der Kreisbewegung gerichtet. Man spricht von der Zentripetalbeschleunigung.

Beschleunigungskomponenten als Funktionen der Zeit

t .... Zeit
ax ... erste Komponente des Beschleunigungsvektors
ay ... zweite Komponente des Beschleunigungsvektors
r .... Radius
ω .... Winkelgeschwindigkeit

Für den Betrag des Beschleunigungsvektors folgt daraus:

Zentripetalbeschleunigung

a ... Zentripetalbeschleunigung (Betrag des Beschleunigungsvektors)
r ... Radius
ω ... Winkelgeschwindigkeit


URL: http://www.walter-fendt.de/ph6de/circularmotion_math_de.htm
© Walter Fendt, 4. August 2007
Letzte Änderung: 24. November 2013

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