Pojem těleso (angl. field) hraje důležitou roli v algebře. Zhruba řečeno, tento pojem vyjadřuje skutečnost, že na dané množině jsou definovány dva typy operací (sčítání a násobení), pro které v podstatě platí stejná pravidla jako v aritmetice s racionálními čísly. Konkrétně: součet a součin dvou prvků musí opět patřit do množiny (uzavřenost), musí platit asociativní zákony a komutativní zákony, musí existovat neutrální prvky pro oba typy operací (0 pro sčítání, 1 pro násobení) a k prvku x musí existovat inverzní prvky (−x při sčítání, x−1 pro x ≠ 0 při násobení). Kromě toho je vyžadována platnost distribučního zákona.
Nejznámějšími příklady jsou: těleso Q racionálních čísel, těleso R reálných čísel a těleso C komplexních čísel. Každé z těchto těles má nekonečný počet prvků.
Otázka: Existují také tělesa s konečným počtem prvků?
Odpověď: Ano, existují tělesa s konečným počtem prvků, ale počet prvků musí být buď prvočíslo (p) nebo jeho mocnina (p2, p3, p4 atd.). Například neexistuje těleso s 6 prvky, protože číslo 6 lze rozložit na dva různé prvočinitele: 6 = 2 · 3
Tělesa s konečným počtem prvků (tzv. konečná tělesa) se též nazývají Galoisova tělesa podle francouzského matematika Évarista Galoise (1811 – 1832). Dále budou výpočty v Galoisových tělesech vysvětleny na dvou typických příkladech.
Zde jsou pouze prvky 0, 1, 2, 3 a 4. Aby při sčítání nebo násobení nevycházely žádné další prvky, počítá se modulo 5. To znamená, že nejprve spočítáte „normálně“, pak celočíselně vydělíte 5 a jako výsledek vezmete zbytek po celočíselném dělení.
| Příklad sčítání: | 3 + 4 = 2; | („normálně“ 3 + 4 = 7; | 7 : 5 výsledek 1, zbytek 2) |
| Příklad násobení: | 2 · 4 = 3; | („normálně“ 2 · 4 = 8; | 8 : 5 výsledek 1, zbytek 3) |
Podle předešlého je definováno sčítání a násobení v Galoisově tělese GF(p), pokud je p libovolné prvočíslo. „Nejmenší“ Galoisovo těleso je GF(2) s prvky 0 a 1. To má tu zvláštnost, že v něm není rozdílu mezi sčítáním a odečítáním.
Zde jsou věci mnohem složitější. Protože 8 = 23
začneme od jednoduššího Galoisova tělesa GF(2).
Těleso GF(8) je generováno rozšířením prvočíselného
tělesa GF(2); 2 je charakteristika tělesa GF(8).
Kromě prvků 0 a 1 z tělesa GF(2) potřebujeme přidat kořen (nulový bod) polynomu x3 + x + 1, tedy prvek α s vlastností α3 + α + 1 = 0. Všechny prvky GF(8) pak lze zapsat ve tvaru c0 + c1 α + c2 α2, kde jsou povoleny koeficienty c0, c1, c2 pouze z GF(2).
Toto rozšíření již nepředstavuje velký problém, jak ukazuje následující příklad. (V podstatě si stačí pamatovat, že v GF(2) platí výraz 1 + 1 = 0)
(1 + α2) + (1 + α) = α + α2
Následující ukázka by měla ukázat násobení v GF(8):
(1 + α2) · (α + α2) = α + α2 + α3 + α4
Protože výsledek ještě nemá požadovaný tvar, je třeba ještě vyjádřit α3 a α4 jako mocniny s nižšími exponenty. Z α3 + α + 1 = 0 vyplývá:
α3 = −α − 1 = α + 1 (z důvodu charakteristiky 2)
α4 = α3 · α
= (α + 1) · α
= α2 + α
Po dosazení těchto výlrazů dostaneme:
(1 + α2) · (α + α2) = α + α2 + (α + 1) + (α2 + α) = 1 + α (z důvodu charakteristiky 2)
Zde vycházíme z prvočíselného tělesa GF(p) s prvky 0, 1, …, p−1. Navíc potřebujeme vhodný polynom stupně n, který je ireducibilní (nerozložitelný) nad GF(p). Je-li α kořenem tohoto polynomu, pak každý prvek GF(pn) lze vyjádřit ve tvaru c0 + c1 α + ... + cn−1 αn−1, kde koeficienty c0, c1, ..., cn−1 musí pocházet z prvočíselného tělesa GF(p).
Tato online kalkulačka je vhodná pro Galoisova tělesa, jejichž řád (počet prvků) není větší než 100. Řád lze nastavit ve výběrovém poli vpravo nahoře. Rádiová tlačítka slouží k výběru binární operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) nebo unární operace (inverzní prvek vůči sčítání nebo násobení). Operandy se zadávají pomocí výběrových polí. Kromě výsledku dole se na levé straně zobrazí tabulka vazeb nebo tabulka inverzních prvků. Protože tyto tabulky mohou být poměrně rozsáhlé, lze s nimi posouvat myší nebo prstem.