Online kalkulačka
Legendreův, Jacobiho a Kroneckerův symbol

Kvadratický zbytek je pojem, který je důležitý v teorii čísel. Jde o to, zda lze z daného prvku určitého okruhu zbytkové třídy odvodit odmocninu. Následující definice předpokládá celé číslo a a přirozené číslo n, pro které platí n > 1.

• číslo a nazveme kvadratickým zbytkem modulo n, jestliže čísla a a n jsou nesoudělná a jestliže existuje celé číslo x takové, že x² je kongruentní s číslem a modulo n (zapisujeme: x² ≡ a mod n). Poslední podmínku lze vyjádřit i tak, že rozdíl x² − a musí být dělitelný číslem n.
• číslo a nazveme kvadratickým nezbytkem modulo n, jestliže čísla a a n jsou nesoudělná a jestliže neexistuje žádné celé číslo x takové, že x² je kongruentní s číslem a modulo n.
• čísla a a n nejsou nesoudělná (jsou soudělná), pak a není ani kvadratický zbytek, ani kvadratický nezbytek modulo n.

Příklady:

5 je kvadratický zbytek modulo 11, jak je vidět z 4² = 16 ≡ 5 mod 11.
2 je kvadratický nezbytek modulo 11, protože neexistuje žádné celé číslo x, pro které x² ≡ 2 mod 11 (Vyzkoušejte si to: 1², 2², …, 10²).
22 není kvadratický zbytek a také není kvadratický nezbytek modulo 11, protože 22 a 11 mají společný dělitel 11.

Legendrův symbol označuje, který ze tří případů nastává. Daná čísla napíšete do závorky jedno pod druhé a mezi ně vložíte vodorovnou čáru (nikoli zlomkovou). V prvním případě (kvadratický zbytek) má symbol hodnotu 1, ve druhém případě (kvadratický nezbytek) hodnotu −1 a ve třetím případě (soudělná čísla) hodnotu 0. Legendrův symbol předpokládá, že nižší číslo je liché prvočíslo (3, 5, 7, 11, …).

Při zobecnění se používají podobné symboly, a to Jacobiho symbol a Kroneckerův symbol. U Jacobiho symbolu jsou pro nižší číslo přípustná lichá přirozená čísla, u Kroneckerova symbolu dokonce libovolná celá čísla. U obou zobecnění se však může stát, že symbol má hodnotu 1, ale horní číslo přesto není kvadratickým zbytkem modulo dolního čísla.

Tato online kalkulačka umožňuje zadávat čísla až do výše 1 000 000. Zadávání lze potvrdit klávesou Enter nebo kliknutím na tlačítko OK. Pokud vstup dává smysl, vlevo nahoře je uvedeno, zda se jedná o kvadratický zbytek nebo kvadratický nezbytek nebo zda mají zadaná čísla společného dělitele většího než 1 (se stručným vysvětlením). Vlevo dole je vypsána hodnota Legendrova, Jacobiho nebo Kroneckerova symbolu, v případě dvou obecnějších symbolů s krátkým výpočtem.