Záporně nabitý elektron je přitahován ke kladně nabitému jádru. Aby se udržel na stabilním orbitě, musí toto jádro obíhat. V takovém případě je elektrostatická síla (Coulombově) silou dostředivou.
m v2 r |
= | e2 4 π ε0 r2 |
m .... hmotnost elektronu
v .... rychlost elektronu
r .... poloměr orbitu
e .... velikost elementárního náboje
ε0 ... permitivita vakua
Takže, povolené poloměry orbitu jsou jen ty, pro které je moment hybnosti celočíselným násobkem h / (2 π).
r m v | = | n · | h 2 π |
r ... poloměr orbitu
m ... hmotnost elektronu
v ... rychlost elektronu
n ... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konstanta
Bohrova kvantová podmínka říká, že pokud přijmeme myšlenku de Brogliho hmotné vlny, pak elektronu odpovídá vlnění s vlnovou délkou λ = h / (m v). Pro existenci stojaté vlny okolo jádra je nezbytné, aby obvod orbitu byl celočíselným násobkem vlnové délky. Tedy dostáváme 2 r π = n h / (m v), což potvrzuje předchozí kvantovou podmínku.
Řešením druhé rovnice a dosazením výsledku do první dostaneme následující výsledek pro povolené (možné) poloměry:
r | = | h2 ε0
m e2 π |
· n2 |
h .... Planckova konstanta
ε0 ... permitivita vakua
m .... hmotnost elektronu
e .... velikost elementárního náboje
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Použitím vztahu E = Epot + Ekin = − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 dostaneme:
E | = | − | m e4 8 ε02 h2 |
· | 1 n2 |
m .... hmotnost elektronu
e .... velikost elementárního náboje
ε0 ... permitivita vakua
h .... Planckova konstanta
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Přesněji řečeno je nutné ještě udělat malou opravu tohoto vzorce. Hmotnost jádra je jistě mnohonásobně větší než hmotnost elektronu, ale ne nekonečno krát. Takže elektrony společně s jádrem obíhají kolem společného hmotného středu, který není zcela shodný se středem atomu. Pokud to vezmeme v úvahu, musíme nahradit hmotnost elektronu (m) takzvanou redukovanou hmotností (m'), kterou získáme pomocí následujícího vztahu:
m' | = | mK m mK + m |
m .... hmotnost elektrónu
mK ... hmotnost jádra
URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phcz/bohrmodel_math_cz.htm
Walter Fendt, 29. května 1999
Poslední změna: 15. května 2016