Zweites Keplersches Gesetz
Mathematischer Anhang

Vereinfachend wird angenommen, dass die Masse des betrachteten Planeten klein gegenüber der Sonnenmasse ist, dass also der Schwerpunkt des Systems Sonne-Planet mit dem Sonnenmittelpunkt übereinstimmt. Störeinflüsse anderer Himmelskörper werden vernachlässigt.

Folgende Größen müssen für die Berechnung bekannt sein:

Große Halbachse der Bahnellipse
εNumerische Exzentrizität
tPZeitpunkt des letzten Perihel-Durchgangs (sonnennächster Punkt)
tZeit

Außerdem kommen in den Formeln noch zwei Konstanten vor:

Gravitationskonstante G = 6,67430 · 10−11 m3 / (kg s2)
mSSonnenmassemS = 1,98892 · 1030 kg

Die Bewegung wird beschrieben in einem zweidimensionalen Koordinatensystem für die Ebene, in der sich die Planetenbahn befindet. Ursprung ist der Mittelpunkt der Bahnellipse. Die x-Achse ist durch das Perihel gegeben.

Bahnellipse

Die Umlaufdauer ergibt sich aus dem Dritten Keplerschen Gesetz:

Umlaufdauer

Die mittlere Anomalie (zum Zeitpunkt t) ist der Winkel (Bogenmaß!), um den sich der Planet bei gleichmäßiger Bewegung seit dem letzten Perihel-Durchgang weiterbewegt hätte.

Mittlere Anomalie

Aus der mittleren Anomalie M lässt sich die exzentrische Anomalie E bestimmen, indem man die sogenannte Kepler-Gleichung auflöst:

Exzentrische Anomalie

Hier handelt es sich um eine transzendente Gleichung, bei der eine symbolische Lösung unter Verwendung der üblichen Standardfunktionen nicht möglich ist. Es gibt aber Näherungsverfahren, mit denen sich beliebige Genauigkeit erreichen lässt, zum Beispiel fortgesetzte Intervallhalbierung mit dem Startintervall [0; 2 π].

Kennt man die exzentrische Anomalie, so lässt sich daraus der Positionswinkel bezüglich der Sonne ermitteln:

Positionswinkel

Der Abstand des Planeten von der Sonne ist gegeben durch:

Abstand

Aus den Polarkoordinaten r und φ können die kartesischen Koordinaten x und y berechnet werden:

Koordinaten

Für die momentane Geschwindigkeit des Planeten verwendet man sinnvollerweise die Vis-Viva-Gleichung, eine Folgerung aus dem Energieerhaltungssatz:

Geschwindigkeit

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phde/keplerlaw2_math_de.htm
Walter Fendt, 23. Januar 2022

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