Kényszerrezgés, matematikai függelék

A rugót a D rugóállandóval, a test m tömegével és a Γ csillapítással jellemezzük. (A súrlódási erő arányos a sebességgel és az arányossági tényező Γ.)
A rugó tetejét a következő képlet szerint mozgatjuk: y_E   =   A_E cos (ωt).
Ahol y_E a gerjesztés kitérését jelöli; A_E a gerjesztés amplitudója, ω a gerjesztés körfrekvenciája, és t az idő.

A test y kitérésének a t időtől való függését keressük. Felhasználva az ω₀   =   (D/m)^1/2 képletet, az alábbi differenciálegyenlet írja le a problémát:

A differenciálegyenlet megoldásához a következő eseteket kell vizsgálnunk:

1. eset: Γ < 2 ω₀

1.1. eset: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 vagy ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

1.2. eset: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 és ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

2. eset: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

3. eset: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phhu/resonance_math_hu.htm
Walter Fendt, 1998. Szeptember 9.
Magyar változat: Serényi Tamás 2004.
Utolsó módosítás: February 3, 2010

Vissza a főoldalra