Gedwongen oscillaties
Wiskundige bijlage

De trilling van een veersysteem wordt bepaald door de veerconstante D, de massa m en de dempingfactor Γ. (Γ is een maat voor de wrijvingskracht en wordt verondersteld evenredig met de snelheid te zijn.)
De top van de veer wordt op en neer bewogen overeenkomstig de formule y_E   =   A_E cos (ωt).
y_E is de uitwijking van de trillingsbron vanuit de middenpositie; A_E is de amplitude van de trilling van de trillingsbron, ω is de overeenkomstige hoekfrequentie en t is de tijd.

De vraag is hoe je de grootte van de uitwijking y van de resonator (de massa aan de veer) ten opzichte van de middenstand in de tijd kunt berekenen. Gebruik makend van ω₀   =   (D/m)^1/2 wordt dit probleem beschreven door de volgende differentiaalvergelijking:

Als je deze vergelijking wilt oplossen, moet je verschillende gevallen onderscheiden:

Geval 1: Γ < 2 ω₀

Geval 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 of ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Geval 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 en ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Geval 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Geval 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phnl/resonance_math_nl.htm
Walter Fendt, 9 september 1998
Nederlandse bewerking: Teun Koops (juli 2000)
Laatst aangepast op 24 januari 2003

Terug naar de hoofdpagina