Oscilações Forçadas
Apêndice Matemático

O pêndulo em mola é caracterizado pela constante da mola D, a massa m e a consante e amortecimento Γ. (Γ é a medida do atrito obtida em função da sua proporcionalidade à velocidade.)
Ao topo da mola é aplicado um movimento de acordo com a expressão : yE   =   AE cos (ωt).
yE á a elongaçáo de excitação comparada com a posição média; AE é a amplitude da oscilação de excitação, ω a freqência angular e t o tempo.

Coloca-se então a questão de saber o valor da elongação de ressonância y (comparada com a posição média) para cada instante t. Usando ω0   =   (D/m)1/2 este problema pode ser descrito com a seguinte equação diferencial:

y''(t)   =   ω02 (AE cos (ωt) − y(t))   −   Γ y'(t)
Condições iniciais:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Para resolver esta equação é necessário distinguir entre os diferentes casos possíveis:

Caso 1: Γ < 2 ω0
 
Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 ou ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =   (ω02 − Γ2/4)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 e ω = ω0

y(t)   =   (AE ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1   =   − Ael

Caso 3: Γ > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (Γ2/4 − ω02)1/2
Aabs   =   AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael   =   AE ω0202 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2]
A1   =   − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1   =   − Ael

 

 

URL: https://www.walter-fendt.de/ph14pt/resmath_pt.htm
© Walter Fendt, Setembro 9, 1998
Casa das Ciências Ultima actualização em Português, Maio 29, 2009

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