Sunteti curiosi?

Oscilatii fortate
Tratare Matematica

Pendulul elastic este caracterizat de constanta elastica D, masa m si constanta de atenuare Γ. (Γ este o masura a fortei de frecare, presupusa proportionala cu viteza.)
Oscilatiile suportului pendulului au loc dupa legea: y_E   =   A_E cos (ωt).
Aici y_E este elongatia excitatorului fata de pozitia centrala; A_E este amplitudinea oscilatiei excitatorului, ω este frecventa corespunztoare, iar t timpul.

Vrem sa aflam cat de mare este elongatia y a rezonatorului (masurat asupra pozitiei centrale) la momentul de timp t. Folosind relatia ω₀   =   (D/m)^1/2 problema se reduce la rezolvarea urmatoarei ecuatii diferentiale:

Pentru rezolvarea acestei ecuatii diferentiale distingem mai multe cazuri:

Cazul 1: Γ < 2 ω₀

Cazul 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 sau ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Cazul 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 and ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Cazul 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Cazul 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phro/resonance_math_ro.htm
Walter Fendt, September 9, 1998
Traducere: Otmar Huhn, 2003
Ultima modificare: 22 Ianuarie 2018

inapoi la pagina principala