Tak predsa len zvedavý?
Pružinový oscilátor je charakterizovaný tuhosťou pružiny k, hmotnosťou závažia m a koeficientom tlmenia b. (b je konštanta úmernosti medzi brzdnou silou a rýchlosťou)
Pohyb budenia, ktorý rozkmitáva hornú čsť pružiny, popíšeme rovnicou: yB = AB cos (ωt),
kde yB je okamžitá výchylka horného konca pružiny voči pokojnej polohe, AB je amplitúda budiaceho kmitania, ω je uhlová frekvencia budenia a t je čas.
Našou úlohou je vyjadriť výraz pre veľkosť okamžitej výchylky budeného pružinového oscilátora y v závislosti od času. Použitím vzťahu ω0 = (k/m)1/2 popíšeme tento problém nasledujúcou diferenciálnou rovnicou:
y''(t) = ω02(AB cos(ωt) – y(t)) – b y'(t) Počiatočné podmienky: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Ak chcete riešiť túto difrenciálnu rovnicu, musíte rozlišovať medzi niekoľkými prípadmi:
Prípad 1: b < 2 ω0
Prípad 1.1: b < 2 ω0; b ≠ 0 alebo ω ≠ ω0
y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)
+ e–bt/2[A1 sin (ω1t)
+ B1 cos (ω1t)]
ω1 = (ω02 – b2/4)1/2
Aabs = AB ω02 b ω
/ [(ω02 – ω2)2+ b2 ω2]
Ael = AB ω02 (ω02 – ω2)
/ [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1 = – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1 = – Ael
Prípad 1.2: b < 2 ω0; b = 0 a zároveň ω = ω0
y(t) = (AB ω t / 2) sin (ωt)
Prípad 2: b = 2 ω0
y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt) + e–bt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AB ω02 b ω
/ (ω02 + ω2)2
Ael = AB ω02 (ω02 – ω2)
/ (ω02 + ω2)2
A1 = – (Aabs ω + (b/2) Ael)
B1 = – Ael
Prípad 3: b > 2 ω0
y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)
+ e–bt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1 = (b2/4 – ω02)1/2
Aabs = AB ω02 b ω
/ [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
Ael = AB ω02 (ω02 – ω2)
/ [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1 = – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1 = – Ael
URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phsk/resonance_math_sk.htm
Walter Fendt, 9. septembra 1998
Preklad do slovenčiny: Augustín Šutta, učiteľ na odpočinku
Posledná aktualizácia: 1. marca 2018