Prinudne oscilacije, matematički dodatak

Klatno sa oprugom se karakteriše konstantom opruge k, masom tega m i koeficijentom prigušenja Γ. (Γ je mera sile otpora kretanju u meri u kojoj je otpor proporcionalan brzini kretanja.)
Pobuđivač osciluje krećući se u vretikalnom pravcu prema jednačini y_E   =   A_E cos (ωt).
y_E predstavlja elongaciju pobuđivača, odnosno pomeraj u odnosu na srednji položaj pobuđivača; A_E predstavlja amplitudu pobuđivača, ω odgovarajuću kružnu frekvencu pobude, a t vreme.

Zadatak je određivanje zavisnosti elongacije klatna od vremena. Koristeći smenu ω₀   =   (k/m)^1/2 problem se opisuje sledećom diferencijalnom jednačinom:

Ako želite da rešite ovu diferencijalnu jednačinu, potrebno je razlikovati sledeće slučajeve:

Slučaj 1: Γ < 2 ω₀

Slučaj 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 ili ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Slučaj 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 i ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Slučaj 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Slučaj 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phsr/resonance_math_sr.htm
Walter Fendt, 9. septembar 1998.
Prevod i obrada: dr Zlatan Šoškić
Poslednja izmena: 3. februar 2010.

Povratak na stranu rezonance