Warum ... ... läuft die Zeit bei hoher Geschwindigkeit langsamer?

Ein Versuch, die einsteinsche Zeitdilatation auf einfache Weise zu erklären

Übersicht

1. Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie
2. Der Doppler-Effekt
3. Ein Beispiel für die Zeitdilatation
4. Zeitdilatation, genauer betrachtet

Vermutlich haben Sie schon davon gehört, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s in der Physik eine besondere Rolle spielt. Neben dem sichtbaren Licht breiten sich auch Radiowellen, Infrarot-, Ultraviolett-, Röntgen- und Gammastrahlen im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus. Bekannt ist auch die Tatsache, dass kein materieller Gegenstand (abgesehen vom Raumschiff Enterprise?) die Lichtgeschwindigkeit erreichen oder gar übertreffen kann. Bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit treten ungewöhnliche Erscheinungen auf, die der berühmte Physiker Albert Einstein schon 1905 in seiner speziellen Relativitätstheorie voraussagte.

Eine Folgerung aus Einsteins Theorie ist besonders verblüffend:

Wenn man sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, läuft die Zeit deutlich langsamer.

Ich möchte im Folgenden versuchen, diese Tatsache möglichst einfach (aber dennoch korrekt) anhand eines Beispiels zu erklären.

1. Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie

Die Physik verwendet zur Beschreibung eines Vorgangs eine Zeitskala und ein räumliches Koordinatensystem (zum Beispiel ein kartesisches Koordinatensystem mit drei zueinander senkrechten Achsen). Dabei kann der Zeitnullpunkt willkürlich festgelegt werden (zum Beispiel auf Christi Geburt). Was das räumliche Koordinatensystem betrifft, so kann man den Ursprung und die Achsenrichtungen beliebig wählen. Außerdem ist es möglich, ein "bewegtes" Koordinatensystem zu verwenden, also etwa aus der Sicht eines Autos die Bewegung von Bäumen (!) zu beschreiben.

Wenn im Folgenden von Koordinatensystemen oder Bezugssystemen die Rede ist, sind immer sogenannte Inertialsysteme gemeint, das sind Bezugssysteme, in denen kräftefreie Körper gemäß dem Trägheitssatz in Ruhe bleiben oder sich mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegen. Ein typisches Beispiel für ein Inertialsystem ist das Bezugssystem eines antriebslos fliegenden Raumschiffs, in dem sich die Astronauten im Zustand der Schwerelosigkeit befinden. (In einem Nicht-Inertialsystem dagegen würden Trägheitskräfte wie beim plötzlichen Bremsen eines Autos oder Zentrifugalkräfte wie in der Looping-Achterbahn auftreten.)

Die spezielle Relativitätstheorie befasst sich im Wesentlichen mit der folgenden Frage:

Inwieweit können physikalische Größen in zueinander bewegten Koordinatensystemen verschiedene Werte besitzen?

Für die Geschwindigkeit ist die Abhängigkeit vom Bezugssystem offensichtlich: Ist das verwendete Koordinatensystem beispielsweise mit einem parkenden Auto verbunden, so haben die Bäume am Straßenrand die Geschwindigkeit 0 km/h. Betrachtet man dieselben Bäume im Bezugssystem eines Fußgängers beziehungsweise eines fahrenden Autos, so bewegen sich diese Bäume (!) beispielsweise mit 5 km/h beziehungsweise 100 km/h. (Denkbares Zitat von Einstein: "Wann hält Ulm an diesem Zug?")

Andererseits erscheint es dem "gesunden Menschenverstand" undenkbar, dass Länge, Zeit oder Masse vom verwendeten Koordinatensystem abhängen könnten. Albert Einstein hatte als erster die revolutionäre Idee, dass sich auch diese Größen mit dem Bezugssystem ändern könnten. Bei seinen Überlegungen ging Einstein von zwei Prinzipien aus, dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:

Dieses Relativitätsprinzip liegt bereits der klassischen (newtonschen) Mechanik zugrunde. Als Beispiel sei der Versuch genannt, in einem Zugabteil (ohne Fenster, mit totaler Schallisolierung, perfekter Federung, absolut ebenem Gleis usw.) durch physikalische Messungen festzustellen, ob der Zug fährt oder wie hoch seine Geschwindigkeit ist. Schon nach der newtonschen Mechanik ist dies unmöglich. Dagegen lässt sich eine Beschleunigung oder eine Kurvenfahrt des Zuges ohne Weiteres erkennen, zum Beispiel daran, dass sich ein Ball am Boden des Eisenbahnwagens in Bewegung setzt. Verwendet man in der newtonschen Mechanik zwei verschiedene Bezugssysteme, die sich gleichförmig gegeneinander bewegen, so erhält man bei Geschwindigkeitsmessungen verschiedene, bei Beschleunigungsmessungen dagegen übereinstimmende Werte.

Wichtig für das Verständnis des Relativitätsprinzips ist, dass das Fehlen von äußeren Kräften (zum Beispiel von Gravitationskräften) vorausgesetzt wird. So können verschiedene, gegeneinander bewegte Bezugssysteme auf der Erde im Allgemeinen nicht als gleichberechtigt angesehen werden. Betrachtet man dagegen zwei Raketen, die in großer Entfernung vom nächsten Himmelskörper antriebslos aneinander vorbeifliegen, so sind die mit diesen Raketen verbundenen Koordinatensysteme gleichberechtigt. Jede der beiden Raketenbesatzungen kann zum Beispiel behaupten, das eigene Raumschiff bewege sich mit 100 km/s, während die andere Rakete stillstehe; ein weiterer Beobachter könnte beispielsweise mit gleichem Recht sagen, dass sich die erste Rakete mit 20 km/s in die eine Richtung und die zweite mit 80 km/s in die entgegengesetzte Richtung bewege.

Folgerung: Bewegung ist ein relativer (das heißt vom verwendeten Bezugssystem abhängiger) Begriff. Es gibt keinen absoluten Raum.

Das zweite für die spezielle Relativitätstheorie grundlegende Prinzip wurde von James Clerk Maxwell in seiner Theorie der Elektrodynamik (1861 bis 1864) vorausgesagt und 1881 von Albert Abraham Michelson erstmals experimentell bestätigt:

Dieses Prinzip hat überraschende Konsequenzen. Wenn ein Beobachter sich mit halber Schallgeschwindigkeit auf eine Schallquelle zu bewegt und die Geschwindigkeit des ankommenden Schalls in seinem Bezugssystem misst, erhält er das Eineinhalbfache des normalen Wertes. Dagegen hat für einen Beobachter, der mit halber Lichtgeschwindigkeit auf eine Lichtquelle zurast, die Geschwindigkeit des ankommenden Lichts in seinem Bezugssystem nur den normalen Wert.

2. Der Doppler-Effekt

Jeder hat schon beim Vorbeifahren eines Notarztwagens beobachtet, dass der Ton des Martinshorns in dem Moment, in dem der Wagen vorbeifährt, plötzlich tiefer wird. Diese Erscheinung wird als Doppler-Effekt (nach dem österreichischen Physiker Christian Doppler) bezeichnet und ist typisch für die Ausbreitung von Wellen, zum Beispiel von Schall- oder Lichtwellen. Wie kommt dieser Effekt zustande?

Die Schallquelle sendet in einem bestimmten zeitlichen Abstand (zum Beispiel 0,0020 s) Wellenfronten aus, die sich in alle Richtungen mit etwa 330 m/s ausbreiten. Bewegt sich die Schallquelle auf den Beobachter zu, so haben die später ausgesandten Wellenfronten einen kürzeren Weg zum Beobachter zurückzulegen und brauchen daher weniger Zeit, um zu diesem zu gelangen. Dadurch kommen die Wellenfronten in einem kürzeren Zeitabstand (beispielsweise 0,0018 s) beim Beobachter an. Dieses schnellere Aufeinanderfolgen der Wellenfronten empfinden wir als Erhöhung des Tons.

Bewegt sich die Schallquelle vom Beobachter weg, so brauchen die später ausgesandten Wellenfronten auf Grund des längeren Weges mehr Zeit, bis sie beim Beobachter ankommen. Auf diese Weise wird der zeitliche Abstand der Wellenfronten erhöht (beispielsweise auf 0,0022 s). Wir nehmen in diesem Fall einen tieferen Ton wahr. In dem zuletzt genannten Zahlenbeispiel beträgt der Verlängerungsfaktor für den Zeitabstand der Wellenfronten k = 0,0022 s / 0,0020 s = 1,1.

Ein entsprechender Effekt kommt auch bei Lichtwellen vor. Nähert sich die Lichtquelle dem Beobachter, so kommen die Wellenfronten in kürzerem zeitlichem Abstand beim Beobachter an (Violettverschiebung). Im umgekehrten Fall stellt man eine Rotverschiebung fest. (Ein berühmtes Beispiel ist die Rotverschiebung im Licht der Galaxien, die sich von unserer Milchstraße weg bewegen. Diese Rotverschiebung gilt als Beweis für die Urknalltheorie.)

Wenn die Geschwindigkeit der Lichtquelle relativ zum Beobachter ähnlich groß wird wie die Lichtgeschwindigkeit, kann sich der Doppler-Effekt extrem auswirken. Dies soll am folgenden Beispiel näher erläutert werden:

Von der Raumsonde aus betrachtet, verhält sich die Erde wie eine Lichtsignalquelle, die sich von der Sonde wegbewegt. Wir wissen bereits, dass die vom Bordcomputer aufgezeichneten Ankunftszeiten der Signale einen größeren zeitlichen Abstand haben müssen als ein Jahr. Nun soll aber genau ausgerechnet werden, wie groß dieser zeitliche Abstand ist. Wir wollen also den Verlängerungsfaktor k für den Zeitabstand der Signale wissen.

Die von der Erde im Jahresabstand (Erdzeit!) ausgesandten Signale kommen im Abstand von k Jahren (Raumsondenzeit!) bei der Raumsonde an. Dabei hängt die Größe k von der Geschwindigkeit v ab. Bisher wissen wir nur, dass k größer als 1 sein muss.

Die Ausbreitung der Antwortsignale betrachten wir nun aus der Sicht der Erde. So gesehen, ist die Raumsonde eine Lichtsignalquelle, die ihre Signale im Abstand von k Jahren abschickt und sich mit der Geschwindigkeit v = 0,8 c von der Erde entfernt. Nach dem Relativitätsprinzip sind die Bezugssysteme von Erde und Raumsonde gleichberechtigt. Für die Antwortsignale der Raumsonde muss daher die gleiche Gesetzmäßigkeit gelten wie vorher für die ursprünglichen, von der Erde stammenden Signale: Sie müssen (nach Erdzeit!) in einem k-mal so großen zeitlichen Abstand ankommen, wie sie von der Raumsonde ausgesandt wurden (nach Raumsondenzeit!), also im Abstand von k · k Jahren. Aus dem Zeit-Weg-Diagramm (t-s-Diagramm) lässt sich dieser zeitliche Abstand jedoch direkt ablesen: Er beträgt genau 9 Jahre. Damit können wir die Größe von k angeben. Aus k · k = 9 folgt sofort k = 3.

Eine entsprechende Überlegung für ein Flugzeug mit 0,8-facher Schallgeschwindigkeit, das Schallsignale empfängt und unmittelbar darauf wieder zurückschickt, wäre übrigens falsch: Die Schallgeschwindigkeit hätte nämlich im System der Bodenstation den normalen Wert, während man im System des Flugzeugs nur das 0,2-fache dieser Geschwindigkeit registrieren würde. (Es gibt ein Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, aber kein Prinzip von der Konstanz der Schallgeschwindigkeit.) Für die Antwortsignale würde daher ein anderer Verlängerungsfaktor k gelten als für die ursprünglichen Signale.

Für einen anderen Geschwindigkeitswert v wäre selbstverständlich ein anderer Verlängerungsfaktor k herausgekommen. Mit ein wenig Mathematik lässt sich folgende Formel herleiten:

k ... Verlängerungsfaktor für den zeitlichen Abstand der Signale
v ... Geschwindigkeit der Signalquelle relativ zum Beobachter
c ... Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Auch aus dieser Formel erhält man für v = 0,8 c das oben genannte Resultat:

3. Ein Beispiel für die Zeitdilatation

Anhand des Doppler-Effekts, dem auch diese Signale unterliegen, können wir herausfinden, wieviel Zeit während des Fluges für die Raumfahrer vergeht. Wir verwenden dazu ein t-s-Diagramm, das die Bewegung des Raumschiffs und der Funksignale im Bezugssystem der Erde zeigt.

Wie man sieht, erhält die Besatzung den Glückwunsch vom 1. Januar 3001 erst am Umkehrpunkt.

Zunächst soll der Hinflug aus der Sicht der Raumschiffbesatzung betrachtet werden. Die Erde als Signalquelle entfernt sich mit v = 0,8 c, sodass ihre Glückwunschsignale nicht im Jahresabstand, sondern wegen des Doppler-Effekts (wie oben gezeigt) im Abstand von drei Jahren ankommen. Damit ist klar, dass die Raumschiffuhr im Umkehrpunkt den 1. Januar 3003 anzeigt. Aus der Sicht der Erde erfolgt die Umkehr aber am 1. Januar 3005 (siehe Diagramm)! Hier zeigt sich zum ersten Mal, dass die Zeitdauer eines Vorgangs in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich sein kann.

Auch der Rückflug soll im Bezugssystem des Raumschiffs betrachtet werden. Die Erde als Signalquelle nähert sich nun mit v = 0,8 c dem Raumschiff, sodass ihre Glückwunschsignale wieder nicht im Jahresabstand ankommen, sondern diesmal im Abstand von einem drittel Jahr. Nun muss man nur noch im Diagramm die Zahl der Dritteljahr-Intervalle ablesen: Es sind neun solche Zeitabschnitte; demnach dauert (wie nicht anders zu erwarten) der Rückflug nach Raumschiffzeit genau so lang wie der Hinflug, nämlich drei Jahre.

Der Fachbegriff für diese "Zeitdehnung" heißt Zeitdilatation.

Folgerung: Zeit ist ein relativer (also vom verwendeten Bezugssystem abhängiger) Begriff. Es gibt keine absolute Zeit.

4. Zeitdilatation, genauer betrachtet

Wir sind am Ende unserer Überlegungen angelangt, jedenfalls beinahe. Ein wichtiges Detail ist allerdings noch zu klären. In unserem letzten Beispiel geht die bewegte Uhr im Raumschiff langsamer als die Uhren auf der Erde. Andererseits wissen wir, dass Bewegung ein relativer Begriff ist. Wir können uns daher auch auf den Standpunkt stellen, dass das Raumschiff die ganze Zeit stillsteht und die Erde sich hin- und herbewegt. Ist das nicht ein Widerspruch?

In Wirklichkeit sind die Bezugssysteme der Erde und des Raumschiffs nicht gleichberechtigt. Zum einen muss das Raumschiff bei der Umkehr stark beschleunigen. Das zugehörige Koordinatensystem ist folglich kein Inertialsystem. Außerdem wird eine einzelne Uhr im Raumschiff mit mehreren Uhren verglichen, die relativ zur Erde unbewegt sind, nämlich mit Uhren auf der Erde und am Reiseziel.

Nach dieser Klarstellung sind wir nun in der Lage, unsere Erkenntnisse präzise zu formulieren:

Wie stark sich die Zeitdehnung bei verschiedenen Geschwindigkeiten auswirkt, können Sie mit einer HTML5-App zu diesem Thema ausprobieren.

Selbstverständlich gibt es für die Zeitdilatation eine Formel. Sie lautet folgendermaßen:

t' ... von der bewegten Uhr U angezeigte Zeit
t  ... von den Uhren des Bezugssystems S angezeigte Zeit
v  ... Geschwindigkeit der Uhr U relativ zum Bezugssystem S
c  ... Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Die Anwendung dieser Formel auf den Hin- oder Rückflug des Raumschiffs bestätigt das Ergebnis unserer Überlegung anhand des t-s-Diagramms:

Mit einem kleinen Rechner (realisiert als HTML5-App) können Sie diese Formel ausprobieren.

Nicht nur Uhren sind der Zeitdilatation unterworfen, sondern ganz allgemein sämtliche Prozesse wie etwa Atmung, Herzschlag, Bewegungen und Alterung. Die Astronauten spüren auf ihrem Raumflug bis zur Rückkehr nichts von der Zeitdilatation, da alle Vorgänge in gleicher Weise davon betroffen sind.

Auch wenn wir die Zeitdilatation durch zwei Gedankenexperimente begründet haben, bleibt vielleicht doch ein wenig Misstrauen gegenüber dem Ergebnis. Zu sehr sind wir an die falsche Vorstellung einer absolut gültigen Zeit gewöhnt. Außerdem wäre es ja denkbar, dass an den Grundlagen unserer Überlegungen (Relativitätsprinzip und Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) etwas nicht stimmt. Aus diesem Grund hat man versucht, die Zeitdilatation auch experimentell nachzuweisen.

• Wenn die Partikel der kosmischen Strahlung auf die obersten Schichten der Erdatmosphäre treffen, entstehen dabei unter anderem Myonen. Es handelt sich dabei um Elementarteilchen, die den Elektronen ähneln, aber im Durchschnitt nur eine sehr kurze Lebensdauer von 2,2 Mikrosekunden (2,2 millionstel Sekunden) haben. Obwohl sich diese Myonen fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, kämen sie ohne Zeitdilatation durchschnittlich gerade 660 m weit und würden dann zerfallen. Sie hätten also praktisch keine Chance, jemals die Erdoberfläche zu erreichen. In Wirklichkeit treffen aber Myonen in riesiger Anzahl auf die Erde – als Folge der Zeitdilatation!
• Auch auf direktere Weise konnte man die Zeitdilatation überprüfen. Im Jahre 1971 führten die amerikanischen Physiker Hafele und Keating an Bord von Linienflugzeugen Messungen mit Atomuhren durch. Sie konnten – im Rahmen der Messgenauigkeit – die oben erwähnte Formel bestätigen.

In ferner Zukunft wird die Zeitdilatation vielleicht fantastische Möglichkeiten für interstellare Raumflüge eröffnen. Ein solcher Raumflug würde aber die Astronauten wie eine Zeitmaschine in die Zukunft führen (jedoch nicht mehr zurück!). Ob sich die Raumfahrer allerdings noch zurechtfinden werden, wenn sie zu einem Planeten zurückkehren, auf dem seit ihrem Aufbruch Jahrhunderte oder Jahrtausende vergangen sind, das ist eine andere Frage.

Walter Fendt, 10. Mai 1997

Letzte Änderung: 11. Januar 2021

URL: www.walter-fendt.de/zd/index.html

Diese Seite entstand aus einer 1995 gehaltenen Unterrichtsstunde für die damalige Klasse 9b des Paul-Klee-Gymnasiums Gersthofen. Herzlichen Dank an Herrn Norbert Feist für seine Beiträge zur korrekten Darstellung des Hafele-Keating-Experiments! Die beiden Simulationen stammen aus den "Apps zur Physik", einer Sammlung von derzeit 54 Programmen zu verschiedenen Themen der Physik.

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Quellen

• Müller, Leitner, Dilg, Mràz: Physik Leistungskurs, 2. Semester (Ehrenwirth)
• Povh, Rith, Scholz, Zetsche: Teilchen und Kerne (Springer)
• Hafele, Keating: Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains (Science, Vol. 177)
• Hafele, Keating: Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains (Science, Vol. 177)
• Meyers Großes Universallexikon
• Adams, Douglas: Per Anhalter durch die Galaxis (Ullstein)