Bohrův model atomu vodíku
Matematický doplněk

Záporně nabitý elektron je přitahován ke kladně nabitému jádru. Aby se udržel na stabilním orbitě, musí toto jádro obíhat. V takovém případě je elektrostatická síla (Coulombově) silou dostředivou.

m v2
r
 =  e2
4 π ε0 r2

m .... hmotnost elektronu
v .... rychlost elektronu
r .... poloměr orbitu
e .... velikost elementárního náboje
ε0 ... permitivita vakua

Takže, povolené poloměry orbitu jsou jen ty, pro které je moment hybnosti celočíselným násobkem h / (2 π).

Bohrova kvantová podmínka:
 
r m v  =  n · h
2 π

r ... poloměr orbitu
m ... hmotnost elektronu
v ... rychlost elektronu
n ... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konstanta

Bohrova kvantová podmínka říká, že pokud přijmeme myšlenku de Brogliho hmotné vlny, pak elektronu odpovídá vlnění s vlnovou délkou λ  =  h / (m v). Pro existenci stojaté vlny okolo jádra je nezbytné, aby obvod orbitu byl celočíselným násobkem vlnové délky. Tedy dostáváme 2 r π  =  n h / (m v), což potvrzuje předchozí kvantovou podmínku.

Řešením druhé rovnice a dosazením výsledku do první dostaneme následující výsledek pro povolené (možné) poloměry:

Poloměry orbitu pro hlavní kvantové číslo n:
 
r  =  h2 ε0
m e2 π
· n2

h .... Planckova konstanta
ε0 ... permitivita vakua
m .... hmotnost elektronu
e .... velikost elementárního náboje
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Použitím vztahu E  =  Epot + Ekin  =  − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 dostaneme:

Energie atomu vodíku ve stavu popsaném hlavním kvantovým číslem n:
 
E  =  −  m e4
8 ε02 h2
· 1
 n2

m .... hmotnost elektronu
e .... velikost elementárního náboje
ε0 ... permitivita vakua
h .... Planckova konstanta
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Přesněji řečeno je nutné ještě udělat malou opravu tohoto vzorce. Hmotnost jádra je jistě mnohonásobně větší než hmotnost elektronu, ale ne nekonečno krát. Takže elektrony společně s jádrem obíhají kolem společného hmotného středu, který není zcela shodný se středem atomu. Pokud to vezmeme v úvahu, musíme nahradit hmotnost elektronu (m) takzvanou redukovanou hmotností (m'), kterou získáme pomocí následujícího vztahu:

Redukovaná hmotnost elektronu:
 
m'  =  mK m
mK + m

m .... hmotnost elektrónu
mK ... hmotnost jádra


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phcz/bohrmodel_math_cz.htm
© Walter Fendt, 29. května 1999
Poslední změna: 15. května 2016

zurück Zpět na hlavní stránku