Gleichgewicht dreier Kräfte
Mathematischer Anhang

Die Skizze zeigt die drei im Gleichgewicht stehenden Kräfte. Die Summe der drei Kraftvektoren (Vektoraddition!) ist gleich dem Nullvektor. Die Ersatzkraft der beiden ersten Kräfte (entsprechend dem senkrecht nach oben gerichteten Pfeil im Kräfteparallelogramm) ist also entgegengesetzt gleich zur dritten, nach unten gerichteten Kraft.

Gleichgewicht dreier Kräfte

Zur Berechnung des Winkels α (rechts) wendet man den Kosinussatz auf das rechte Teildreieck des Kräfteparallelogramms an. Die Pfeile über den Buchstaben wurden weggelassen, da die Beträge der Kräfte gemeint sind.

Kosinussatz

Löst man diesen Ansatz nach cos α auf, so erhält man:

Kosinus Alpha

Die entsprechende Formel für den Winkel β (links) ergibt sich durch Vertauschung von F1 und F2.

Kosinus Beta

F1 ... Betrag der nach rechts oben gerichteten Kraft
F2 ... Betrag der nach links oben gerichteten Kraft
F3 ... Betrag der nach unten gerichteten Kraft
α .... Winkel zwischen der nach rechts oben gerichteten Kraft und der Lotrichtung
β .... Winkel zwischen der nach links oben gerichteten Kraft und der Lotrichtung

Ein Kräftegleichgewicht ist nur möglich, wenn jeder der drei gegebenen Kraftbeträge größer ist als die Summe der beiden anderen Kraftbeträge (Dreiecksungleichung). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so versagen die beiden letzten Formeln.


URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phde/equilibriumforces_math_de.htm
© Walter Fendt, 4. August 2007
Letzte Änderung: 2. November 2014

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