Tak predsa len zvedavý?

Budené kmity
Matematický dodatok

Pružinový oscilátor je charakterizovaný tuhosťou pružiny k, hmotnosťou závažia m a koeficientom tlmenia b. (b je konštanta úmernosti medzi brzdnou silou a rýchlosťou)

Pohyb budenia, ktorý rozkmitáva hornú čsť pružiny, popíšeme rovnicou: yB   =   AB cos (ωt),

kde yB je okamžitá výchylka horného konca pružiny voči pokojnej polohe, AB je amplitúda budiaceho kmitania, ω je uhlová frekvencia budenia a t je čas.

Našou úlohou je vyjadriť výraz pre veľkosť okamžitej výchylky budeného pružinového oscilátora y v závislosti od času. Použitím vzťahu ω0   =   (k/m)1/2 popíšeme tento problém nasledujúcou diferenciálnou rovnicou:

y''(t) = ω02(AB cos(ωt) – y(t)) – b y'(t)
Počiatočné podmienky:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Ak chcete riešiť túto difrenciálnu rovnicu, musíte rozlišovať medzi niekoľkými prípadmi:

Prípad 1: b < 2 ω0
 
Prípad 1.1: b < 2 ω0; b ≠ 0 alebo ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)  +   e–bt/2[A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =  (ω02 – b2/4)1/2
Aabs   =   AB ω02 b ω / [(ω02 – ω2)2+ b2 ω2]
Ael   =   AB ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

Prípad 1.2: b < 2 ω0; b = 0 a zároveň ω = ω0

y(t)   =   (AB ω t / 2) sin (ωt)

Prípad 2: b = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–bt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AB ω02 b ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AB ω0202 – ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael)
B1   =   – Ael

Prípad 3: b > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–bt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (b2/4 – ω02)1/2
Aabs   =   AB ω02 b ω / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
Ael   =   AB ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

 

 

URL: http://www.walter-fendt.de/html5/phsk/resonance_math_sk.htm
© Walter Fendt, 9. septembra 1998
Posledná zmena: 2. februára 2010

zurück späť na hlavnú stránku