Die Zwillingskreise des Archimedes

Der Arbelos (altgriechisch für "Schustermesser") ist eine geometrische Figur, die bereits von Archimedes aus Syrakus erforscht wurde und daher auch als Sichel des Archimedes bezeichnet wird. Sie wird begrenzt von drei Halbkreisen und ist hier in grüner Farbe dargestellt. Eine interessante Eigenschaft wird erkennbar, wenn man die gemeinsame Tangente der beiden kleinen Halbkreise hinzufügt (senkrechte Linie). In die beiden Teile der Sichel, die durch diese Linie getrennt werden, zeichnet man nun die größten Kreise (violett), die noch hineinpassen. Weil diese Kreise den gleichen Radius haben, nennt man sie die Zwillingskreise des Archimedes.

Durch Ziehen der Maus mit gedrückter Maustaste lassen sich die senkrechte Linie und die beiden kleineren Halbkreise verändern. Setzt man in den beiden Optionsfeldern Häkchen, so werden links und/oder rechts einige Hilfslinien eingezeichnet. Diese Linien werden benötigt, um mithilfe des Satzes von Pythagoras die Kreisradien zu berechnen und so deren Gleichheit zu beweisen.

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Ein ausführlicher Beweis dafür, dass die Radien der beiden Kreise übereinstimmen, findet sich unter www.walter-fendt.de/math/geo/zwillarch.pdf.