Teoria de Bohr para o Átomo de Hidrogénio
Apêndice Matemático

O electrão com carga negativa do átomo de hidrogénio é obrigado a um movimento circular pelas forças electrostáticas provocadas pela carga positiva do núcleo que funciona como força centrípeta.

m v2
r		  =  e2
4 π ε0 r2

m  ... massa do electrão
v  ... velocidade do electrão
r  ... raio da orbita
e  ... carga elementar
ε0 ... permitividade no vazio

No entanto, apenas alguns dos raios das orbitas são permitidos para os quais o momento angular é um múltiplo inteiro de h / (2 π).

Condição quântica de Bohr:
 
r m v  =  n · h
2 π

r ... raio da orbita
m ... massa do electrão
v ... velocidade do electrão
n ... número quântico principal (n = 1, 2, 3, ...)
h ... constante de Planck

A condição quântica de Bohr parece plausível, se considerarmos a onda de de Broglie (ondas de matéria), como ponto de partida. Neste caso o electrão corresponde a uma onda de comprimento de onda λ  =  h / (m v). Se considerarmos a existência de uma onda estacionária, é necessário que a circunferência da órbita corresponda a um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Assim sendo, temos 2 r π  =  n h / (m v), o que comprova a referida condição quântica.

Se resolvermos a segunda equação em ordem a v e inserirmos o resultado na primeira equação, obtemos o seguinte resultado para os raios possíveis:

Raio da orbita associado ao número quântico principal n:
 
r  =  h2 ε0
m e2 π		 · n2

h  ... constante de Planck
ε0 ... permitividade no vazio
m  ... massa do electrão
e  ... carga elementar
n  ... número quântico principal (n = 1, 2, 3, ...)

Usando a expressão E  =  Epot + Ekin  =  − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2, temos:

Energia do átomo de hidrogénio relacionada com o número quântico principal n:
 
E  =  −  m e4
8 ε02 h2		 · 1
 n2

m  ... massa do electrão
e  ... carga elementar
ε0 ... permitividade no vazio
h  ... constante de Planck
n  ... número quântico principal n = 1, 2, 3, ...)

Estritamente falando, é necessário fazer uma pequena correcção a esta expressão. Sendo a massa do núcleo significativamente maior que a do electrão, o movimento é feito em torno de um centro de de massa comum o que pressupõe uma pequena correcção ao valor da massa do electrão (que designamos por massa reduzida) que pode ser dada por:

Massa reduzida do electrão:
 
m'  =  mN m
mN + m

m  ... massa do electrão
mN ... massa do nucleo

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phpt/bohrmodel_math_pt.htm
Walter Fendt, 29 de Maio de 1999
Tradução: Casa das Ciências Casa das Ciências, 2009
Ultima actualização: 1 de Abril de 2016

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