Záporne nabitý elektrón je priťahovaný ku kladne nabitému jadru. Aby sa udržal na stabilnom orbite, musí toto jadro obiehať. V takom prípade je elektrostatická sila (Coulombova) silou dostredivou.
m v2 r |
= | e2 4 π ε0 r2 |
m ... hmotnosť elektrónu
v ... rýchlosť elektrónu
r ... polomer orbitu
e ... veľkosť elementárneho náboja
ε0 ... permitivita vákua
Takže, povolené polomery orbitu sú len tie, pre ktoré je moment hybnosti celočíselným násobkom h / (2 π).
r m v | = | n · | h 2 π |
r ... polomer orbitu
m ... hmotnosť elektrónu
v ... rýchlosť elektrónu
n ... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konštanta
Bohrova kvantová podmienka hovorí, že ak prijmeme myšlienku de Brogliho hmotnej vlny, potom elektrónu odpovedá vlnenie s vlnovou dĺžkou λ = h / (m v). Pre existenciu stojatej vlny okolo jadra je nevyhnutné, aby obvod orbitu bol celočíselným násobkom vlnovej dĺžky. Teda dostávame 2 r π = n h / (m v), čo potvrdzuje predchádzajúcu kvantovú podmienku.
Riešením druhej rovnice a dosadením výsledku do prvej dostaneme nasledujúci výsledok pre povolené (možné) polomery:
r | = | h2 ε0
m e2 π |
· n2 |
h ... Planckove účinkové kvantum
ε0 ... permitivita vákua
m ... hmotnosť elektrónu
e ... veľkosť elementárneho náboja
n ... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Použitím vzťahu E = Epot + Ekin = − e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2 dostaneme:
E | = | − | m e4 8 ε02 h2 |
· | 1 n2 |
m ... hmotnosť elektrónu
e ... elementárny náboj
ε0 ... permitivita vákua
h ... Planckove účinkové kvantum
n ... hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Presne povedané je nutné ešte spraviť malú opravu tohto vzorca. Hmotnosť jadra je iste mnohonásobne väčšia než hmotnosť elektrónu, ale nie nekonečno krát. Takže elektróny spoločne s jadrom obiehajú okolo spoločného hmotného stredu, ktorý nie je celkom identický so stredom atómu. Ak to vezmeme do úvahy, musíme nahradiť hmotnosť elektrónu (m) takzvanou redukovanou hmotnosťou (m'), ktorú získame pomocou nasledujúceho vzťahu:
m' | = | mK m mK + m |
m ... hmotnosť elektrónu
mK ... hmotnosť jadra
URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phsk/bohrmodel_math_sk.htm
Walter Fendt, 29. Mai 1999
Preklad do slovenčiny: Augustín Šutta, učiteľ na odpočinku
Posledná aktualizácia: 1. marca 2018